Theorem oddflALTV 42085

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddflALTV	⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddflALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zofldiv2ALTV 42084	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
2	1	oveq2d 6829	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
3	2	oveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
4		oddz 42054	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 ∈ ℤ)
5		peano2zm 11612	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 11675	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
8		2cnd 11285	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 11305	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan2d 10995	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
12	11	oveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
13	4	zcnd 11675	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 ∈ ℂ)
14		npcan1 10647	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
16	3, 12, 15	3eqtrrd 2799	1 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   − cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  ℤcz 11569  ⌊cfl 12785   Odd codd 42048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787  df-odd 42050

This theorem is referenced by: (None)