Theorem npcan1 11065

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10636	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11001	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  elnnnn0  11941  fzm1  12988  fzosplitprm1  13148  modm1p1mod0  13291  facnn2  13643  cshimadifsn0  14192  pwdif  15223  mod2eq1n2dvds  15696  zob  15708  pwp1fsum  15742  prmonn2  16375  mulgfval  18226  cpmadugsumlemF  21484  addsq2nreurex  26020  axlowdimlem13  26740  wlk1walk  27420  wlkdlem2  27465  clwwlkccatlem  27767  clwwlknwwlksn  27816  clwwlkinwwlk  27818  clwwlkwwlksb  27833  wwlksubclwwlk  27837  eucrct2eupth  28024  frrusgrord0  28119  pthhashvtx  32374  poimirlem1  34908  poimirlem2  34909  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem8  34915  poimirlem9  34916  poimirlem10  34917  poimirlem11  34918  poimirlem12  34919  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  poimirlem15  34922  poimirlem16  34923  poimirlem17  34924  poimirlem18  34925  poimirlem19  34926  poimirlem20  34927  poimirlem21  34928  poimirlem22  34929  poimirlem23  34930  poimirlem24  34931  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem31  34938  poimirlem32  34939  trclfvdecomr  40122  m1mod0mod1  43578  iccpartgtprec  43629  sqrtpwpw2p  43749  fmtnorec2lem  43753  fmtnodvds  43755  fmtnorec3  43759  fmtnorec4  43760  lighneallem3  43821  lighneallem4  43824  dfodd6  43851  evenm1odd  43853  m1expoddALTV  43862  zofldiv2ALTV  43876  oddflALTV  43877  nn0onn0exALTV  43913  fppr2odd  43945  bgoldbtbndlem2  44020  bcpascm1  44448  altgsumbcALT  44450  nn0onn0ex  44632  zofldiv2  44640  logbpw2m1  44676  blenpw2m1  44688  nnolog2flm1  44699  blennngt2o2  44701  blengt1fldiv2p1  44702  blennn0e2  44703