MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcan1 10493
Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
npcan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10094 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2npcand 10434 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  elnnnn0  11374  fzm1  12458  fzosplitprm1  12618  modm1p1mod0  12761  facnn2  13109  cshimadifsn0  13622  mod2eq1n2dvds  15118  zob  15130  pwp1fsum  15161  prmonn2  15790  cpmadugsumlemF  20729  axlowdimlem13  25879  wlk1walk  26591  wlkdlem2  26636  clwwlknwwlksn  27000  clwwlknwwlksnOLD  27001  clwwlkinwwlk  27003  clwwlkwwlksb  27018  wwlksubclwwlk  27023  eucrct2eupth  27223  frrusgrord0  27320  clwwlkccatlem  27331  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem9  33548  poimirlem10  33549  poimirlem11  33550  poimirlem12  33551  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem18  33557  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  trclfvdecomr  38337  m1mod0mod1  41664  iccpartgtprec  41681  sqrtpwpw2p  41775  fmtnorec2lem  41779  fmtnodvds  41781  fmtnorec3  41785  fmtnorec4  41786  pwdif  41826  lighneallem3  41849  lighneallem4  41852  dfodd6  41875  evenm1odd  41877  m1expoddALTV  41886  zofldiv2ALTV  41899  oddflALTV  41900  nn0onn0exALTV  41934  bgoldbtbndlem2  42019  bcpascm1  42454  altgsumbcALT  42456  nn0onn0ex  42643  zofldiv2  42650  logbpw2m1  42686  blenpw2m1  42698  nnolog2flm1  42709  blennngt2o2  42711  blengt1fldiv2p1  42712  blennn0e2  42713
  Copyright terms: Public domain W3C validator