Theorem oppgplusfval 18476

Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ ✚ = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplusfval	⊢ ✚ = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgplusfval.4	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑂)
2		oppgval.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3	2	fvexi 6684	. . . . . 6 ⊢ + ∈ V
4	3	tposex 7926	. . . . 5 ⊢ tpos + ∈ V
5		plusgid 16596	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
6	5	setsid 16538	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
7	4, 6	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
8		oppgval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
9	2, 8	oppgval 18475	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
10	9	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
11	7, 10	syl6reqr 2875	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
12		tpos0 7922	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
13	5	str0 16535	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
14	12, 13	eqtr2i 2845	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = tpos ∅
15		reldmsets 16511	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom sSet
16	15	ovprc1 7195	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
17	9, 16	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = (+g‘∅))
19		fvprc 6663	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = ∅)
20	2, 19	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → + = ∅)
21	20	tposeqd 7895	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
22	14, 18, 21	3eqtr4a 2882	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
23	11, 22	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (+g‘𝑂) = tpos +
24	1, 23	eqtri 2844	1 ⊢ ✚ = tpos +

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ∅c0 4291  ⟨cop 4573  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  tpos ctpos 7891  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  +_gcplusg 16565  opp_gcoppg 18473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-oppg 18474

This theorem is referenced by:  oppgplus  18477