MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 17702
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 = (+g𝑂)
2 oppgval.2 . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
3 fvex 6160 . . . . . . 7 (+g𝑅) ∈ V
42, 3eqeltri 2694 . . . . . 6 + ∈ V
54tposex 7334 . . . . 5 tpos + ∈ V
6 plusgid 15901 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
76setsid 15838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
85, 7mpan2 706 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
9 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
102, 9oppgval 17701 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
1110fveq2i 6153 . . . 4 (+g𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
128, 11syl6reqr 2674 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
13 tpos0 7330 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
146str0 15835 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
1513, 14eqtr2i 2644 . . . 4 (+g‘∅) = tpos ∅
16 reldmsets 15810 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1716ovprc1 6640 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
1810, 17syl5eq 2667 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1918fveq2d 6154 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = (+g‘∅))
20 fvprc 6144 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (+g𝑅) = ∅)
212, 20syl5eq 2667 . . . . 5 𝑅 ∈ V → + = ∅)
2221tposeqd 7303 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
2315, 19, 223eqtr4a 2681 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
2412, 23pm2.61i 176 . 2 (+g𝑂) = tpos +
251, 24eqtri 2643 1 = tpos +
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  c0 3893  cop 4156  cfv 5849  (class class class)co 6607  tpos ctpos 7299  ndxcnx 15781   sSet csts 15782  +gcplusg 15865  oppgcoppg 17699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-sets 15790  df-plusg 15878  df-oppg 17700
This theorem is referenced by:  oppgplus  17703
  Copyright terms: Public domain W3C validator