MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelord 5733
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordelord ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2687 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
21anbi2d 739 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴𝑥𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐵𝐴)))
3 ordeq 5718 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
42, 3imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)))
5 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → Ord 𝐴)
6 3anrot 1041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴))
7 3anass 1040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)))
86, 7bitr3i 266 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)))
9 ordtr 5725 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10 trel3 4751 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝐴 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑧𝐴))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑧𝐴))
128, 11syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑧𝐴))
1312impl 649 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑧𝐴)
14 trel 4750 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝐴 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
159, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
1615expcomd 454 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴 → (𝑦𝑥𝑦𝐴)))
1716imp31 448 . . . . . . . . . 10 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
1817adantrl 751 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
19 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑥𝐴)
20 ordwe 5724 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21 wetrep 5097 . . . . . . . . . 10 (( E We 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2220, 21sylan 488 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
235, 13, 18, 19, 22syl13anc 1326 . . . . . . . 8 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2423ex 450 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
2524pm2.43d 53 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2625alrimivv 1854 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
27 dftr2 4745 . . . . 5 (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2826, 27sylibr 224 . . . 4 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Tr 𝑥)
29 trss 4752 . . . . . . 7 (Tr 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
309, 29syl 17 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
31 wess 5091 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
3230, 20, 31syl6ci 71 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴 → E We 𝑥))
3332imp 445 . . . 4 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → E We 𝑥)
34 df-ord 5714 . . . 4 (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
3528, 33, 34sylanbrc 697 . . 3 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
364, 35vtoclg 3261 . 2 (𝐵𝐴 → ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵))
3736anabsi7 859 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wal 1479   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  Tr wtr 4743   E cep 5018   We wwe 5062  Ord word 5710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-tr 4744  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-ord 5714
This theorem is referenced by:  tron  5734  ordelon  5735  ordtr2  5756  ordtr3OLD  5758  ordintdif  5762  ordsuc  6999  ordsucss  7003  ordsucelsuc  7007  ordsucuniel  7009  limsssuc  7035  smores  7434  smo11  7446  smoord  7447  smoword  7448  smogt  7449  smorndom  7450  rdglim2  7513  oesuclem  7590  ordtypelem3  8410  r1val1  8634  rankr1ag  8650  fin23lem24  9129  onsuct0  32415  dford3  37414  ordpss  38475
  Copyright terms: Public domain W3C validator