Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordirr 5700
 Description: Epsilon irreflexivity of ordinals: no ordinal class is a member of itself. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordirr (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)

Proof of Theorem ordirr
StepHypRef Expression
1 ordfr 5697 . 2 (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2 efrirr 5055 . 2 ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
31, 2syl 17 1 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1987   E cep 4983   Fr wfr 5030  Ord word 5681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-eprel 4985  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685 This theorem is referenced by:  nordeq  5701  ordn2lp  5702  ordtri3or  5714  ordtri1  5715  ordtri3  5718  ordtri3OLD  5719  orddisj  5721  ordunidif  5732  ordnbtwn  5775  ordnbtwnOLD  5776  onirri  5793  onssneli  5796  onprc  6931  nlimsucg  6989  nnlim  7025  limom  7027  smo11  7406  smoord  7407  tfrlem13  7431  omopth2  7609  limensuci  8080  infensuc  8082  ordtypelem9  8375  cantnfp1lem3  8521  cantnfp1  8522  oemapvali  8525  tskwe  8720  dif1card  8777  pm110.643ALT  8944  pwsdompw  8970  cflim2  9029  fin23lem24  9088  fin23lem26  9091  axdc3lem4  9219  ttukeylem7  9281  canthp1lem2  9419  inar1  9541  gruina  9584  grur1  9586  addnidpi  9667  fzennn  12707  hashp1i  13131  soseq  31452  noseponlem  31522  noextend  31524  noextenddif  31525  noextendlt  31526  noextendgt  31527  sucneqond  32845
 Copyright terms: Public domain W3C validator