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Theorem noetalem3 31990
Description: Lemma for noeta 31993. When 𝐴 and 𝐵 are separated, then 𝑍 is a lower bound for 𝐵. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetalem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetalem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
Assertion
Ref Expression
noetalem3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑔   𝑢,𝑎,𝐴,𝑣,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏   𝑔,𝑏,𝑥   𝑢,𝑔,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑔   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem noetalem3
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3127 . . 3 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐵𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏)
2 simplll 813 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 No )
3 simpllr 815 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 No )
54sselda 3636 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
6 noetalem.1 . . . . . . 7 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
76nosupbnd2 31987 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑏 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
82, 3, 5, 7syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
9 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝑏𝐵)
10 ssel2 3631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 No 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
114, 9, 10syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑏 No )
12 nodmord 31931 . . . . . . . . . 10 (𝑏 No → Ord dom 𝑏)
13 ordirr 5779 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑏 → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)
15 ssun2 3810 . . . . . . . . . . 11 suc ( bday 𝐵) ⊆ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
16 bdayval 31926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 No → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
18 bdayfo 31953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bday : No onto→On
19 fofn 6155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → bday Fn No )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bday Fn No
21 fnfvima 6536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday Fn No 𝐵 No 𝑏𝐵) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
2220, 21mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 No 𝑏𝐵) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
234, 9, 22syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
2417, 23eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵))
25 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
27 nodmon 31928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 No → dom 𝑏 ∈ On)
28 imassrn 5512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday 𝐵) ⊆ ran bday
29 forn 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → ran bday = On)
3018, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran bday = On
3128, 30sseqtri 3670 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday 𝐵) ⊆ On
32 ssorduni 7027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday 𝐵) ⊆ On → Ord ( bday 𝐵))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ( bday 𝐵)
34 ordsssuc 5850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑏 ∈ On ∧ Ord ( bday 𝐵)) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3533, 34mpan2 707 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑏 ∈ On → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3611, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3726, 36mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵))
3815, 37sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)))
39 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏 → (dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) ↔ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏))
4038, 39syl5ibcom 235 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ((dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏 → dom 𝑏 ∈ dom 𝑏))
4114, 40mtod 189 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏)
42 noetalem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
4342dmeqi 5357 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑍 = dom (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
44 dmun 5363 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
4543, 44eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
46 1on 7612 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ On
4746elexi 3244 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 ∈ V
4847snnz 4340 . . . . . . . . . . . 12 {1𝑜} ≠ ∅
49 dmxp 5376 . . . . . . . . . . . 12 ({1𝑜} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
5150uneq2i 3797 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) = (dom 𝑆 ∪ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
52 undif2 4077 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∪ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
5345, 51, 523eqtri 2677 . . . . . . . . 9 dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
54 dmeq 5356 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 𝑏 → dom 𝑍 = dom 𝑏)
5553, 54syl5eqr 2699 . . . . . . . 8 (𝑍 = 𝑏 → (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏)
5641, 55nsyl 135 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ 𝑍 = 𝑏)
57 df-ne 2824 . . . . . . . 8 (𝑍𝑏 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑏)
58 notnotr 125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆)
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆)
6059fvresd 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
6142reseq1i 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆)
62 resundir 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆))
63 df-res 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V))
64 incom 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
65 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅
6664, 65eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
67 xpdisj1 5590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
6963, 68eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆) = ∅
7069uneq2i 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
71 un0 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
7270, 71eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆)) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
7361, 62, 723eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
74 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
756nosupno 31974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑆 No )
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑆 No )
78 nofun 31927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 No → Fun 𝑆)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun 𝑆)
80 funrel 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
81 resdm 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8373, 82syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8483fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
8560, 84eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
86 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐴 No )
87 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐴 ∈ V)
88 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 ∈ V)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐵 ∈ V)
906, 42noetalem1 31988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
9186, 87, 89, 90syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍 No )
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 No )
9311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑏 No )
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑏 No )
95 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍𝑏)
96 nosepne 31956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9792, 94, 95, 96syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9885, 97eqnetrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9959fvresd 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
10098, 99neeqtrrd 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
101 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
102 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (𝑆𝑞) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
103101, 102neeq12d 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆𝑞) ↔ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})))
104 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆𝑞) ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
105 necom 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ↔ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
106103, 104, 1053bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})))
107106rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
10859, 100, 107syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
109 rexeq 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
110108, 109syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
111 rexnal 3024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
112110, 111syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
11358, 112syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
114113orrd 392 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
115 nofun 31927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 No → Fun 𝑏)
116 funres 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝑏 → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆))
11794, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆))
118 eqfunfv 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∧ Fun 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
119117, 79, 118syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
120 ianor 508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
121120con1bii 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
122119, 121syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ ¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
123122con2bid 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
124114, 123mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
125124pm2.21d 118 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑍 <s 𝑏))
12683breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) ↔ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))
127 nodmon 31928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
12877, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 ∈ On)
129 sltres 31940 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 No 𝑏 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
13092, 94, 128, 129syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
131126, 130sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
132 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
134 noreson 31938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
13594, 128, 134syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
136 sltso 31952 . . . . . . . . . . . . . . 15 <s Or No
137 sotric 5090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( <s Or No ∧ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No )) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
138136, 137mpan 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
139135, 77, 138syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
140139con2bid 343 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
141133, 140mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))
142125, 131, 141mpjaod 395 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏)
14391adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍 No )
14493adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏 No )
145 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍𝑏)
14642fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
147 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
148147, 75, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → Fun 𝑆)
149 funfn 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑆𝑆 Fn dom 𝑆)
150148, 149sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑆 Fn dom 𝑆)
15147fconst 6129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}):(suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1𝑜}
152 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}):(suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1𝑜} → ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
15565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅)
156 necom 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝) ↔ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝))
157156rabbii 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)}
158157inteqi 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)}
159145necomd 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏𝑍)
160 nosepssdm 31961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 No 𝑍 No 𝑏𝑍) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
161144, 143, 159, 160syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
162158, 161syl5eqss 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
163144, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
164 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 No )
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐵 No )
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝐵 No )
167 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑏𝐵)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏𝐵)
169166, 168, 22syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
170163, 169eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵))
171170, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
172144, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
173171, 172mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵))
174 nosepon 31943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
175143, 144, 145, 174syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
176 eloni 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
177 ordsuc 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord ( bday 𝐵) ↔ Ord suc ( bday 𝐵))
17833, 177mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ord suc ( bday 𝐵)
179 ordtr2 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∧ Ord suc ( bday 𝐵)) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
180178, 179mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
181175, 176, 1803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
182162, 173, 181mp2and 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵))
183 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
184147, 75, 1273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑆 ∈ On)
185 ontri1 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑆 ∈ On ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On) → (dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆))
186184, 175, 185syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆))
187183, 186mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆)
188182, 187eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
189 fvun2 6309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 Fn dom 𝑆 ∧ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∧ ((dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅ ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))) → ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
190150, 154, 155, 188, 189syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
191146, 190syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
19247fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . . 13 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜)
193188, 192syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜)
194191, 193eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜)
195 nosep1o 31957 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) ∧ (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜) → 𝑍 <s 𝑏)
196143, 144, 145, 194, 195syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍 <s 𝑏)
197 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍𝑏)
19891, 93, 197, 174syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
199198, 176syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
200 nodmord 31931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
20174, 75, 2003syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → Ord dom 𝑆)
202 ordtri2or 5860 . . . . . . . . . . 11 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∧ Ord dom 𝑆) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
203199, 201, 202syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
204142, 196, 203mpjaodan 844 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍 <s 𝑏)
205204ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (𝑍𝑏𝑍 <s 𝑏))
20657, 205syl5bir 233 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (¬ 𝑍 = 𝑏𝑍 <s 𝑏))
20756, 206mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑍 <s 𝑏)
208207expr 642 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆𝑍 <s 𝑏))
2098, 208sylbid 230 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏𝑍 <s 𝑏))
210209ralimdva 2991 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑏𝐵𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏))
2111, 210syl5bi 232 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏))
2122113impia 1280 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210  cop 4216   cuni 4468   cint 4507   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Or wor 5063   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  Rel wrel 5148  Ord word 5760  Oncon0 5761  suc csuc 5763  cio 5887  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  crio 6650  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599   No csur 31918   <s cslt 31919   bday cbday 31920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-1o 7605  df-2o 7606  df-no 31921  df-slt 31922  df-bday 31923
This theorem is referenced by:  noetalem5  31992
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