Theorem pfxf1 30618

Description: Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
pfxf1.2	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
pfxf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
pfxf1	⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Proof of Theorem pfxf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxf1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
2		pfxf1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz3 12903	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
4		fzoss2 13063	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		pfxf1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		wrddm 13866	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	5, 8	sseqtrrd 4005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
10		wrdf 13864	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12	11, 5	fssresd 6542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆)
13		f1resf1 6580	. . 3 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆 ∧ (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ∧ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆) → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
14	1, 9, 12, 13	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
15		pfxres 14037	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
16	6, 2, 15	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
17		pfxfn 14039	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
18	6, 2, 17	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
19	18	fndmd 6453	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20		eqidd 2821	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝑆)
21	16, 19, 20	f1eq123d 6605	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆 ↔ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆))
22	14, 21	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3933  dom cdm 5552   ↾ cres 5554   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  –1-1→wf1 6349  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  0cc0 10534  ℤ_≥cuz 12241  ...cfz 12890  ..^cfzo 13031  ♯chash 13688  Word cword 13859   prefix cpfx 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-hash 13689  df-word 13860  df-substr 13999  df-pfx 14029

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  30787