Theorem ply1sclf1 19426

Description: The polynomial scalar function is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1sclid.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclf1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)

Proof of Theorem ply1sclf1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		ply1sclid.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ply1sclf1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	ply1sclf 19422	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
6		fveq2 6088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → (coe1‘(𝐴‘𝑥)) = (coe1‘(𝐴‘𝑦)))
7	6	fveq1d 6090	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
8	1, 2, 3	ply1sclid 19425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 = ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0))
9	8	adantrr 748	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑥 = ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0))
10	1, 2, 3	ply1sclid 19425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
11	10	adantrl 747	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
12	9, 11	eqeq12d 2624	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0)))
13	7, 12	syl5ibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	13	ralrimivva 2953	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15		dff13 6394	. 2 ⊢ (𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ↔ (𝐴:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16	5, 14, 15	sylanbrc 694	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∀wral 2895  ⟶wf 5786  –1-1→wf1 5787  ‘cfv 5790  0cc0 9792  Basecbs 15641  Ringcrg 18316  algSccascl 19078  Poly₁cpl1 19314  coe₁cco1 19315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-ple 15734  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-ascl 19081  df-psr 19123  df-mvr 19124  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-psr1 19317  df-vr1 19318  df-ply1 19319  df-coe1 19320

This theorem is referenced by:  ply1scln0  19428  mat2pmatf1  20295  facth1  23645