Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml4N 35557
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2658 . . 3 (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ( ‘( 𝑌)))
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 poml4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 poml4.p . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 52polvalN 35518 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
763adant2 1100 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
87eqeq2d 2661 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) ↔ 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
98biimpd 219 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
101, 9syl5bi 232 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
11 simpl1 1084 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hloml 34962 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OML)
14 hlclat 34963 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ CLat)
16 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝐴)
17 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 3atssbase 34895 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1916, 18syl6ss 3648 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
2017, 2clatlubcl 17159 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2115, 19, 20syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3 1086 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌𝐴)
2322, 18syl6ss 3648 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
2417, 2clatlubcl 17159 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2613, 21, 253jca 1261 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
27 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝑌)
28 eqid 2651 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2917, 28, 2lubss 17168 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋𝑌) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
3015, 23, 27, 29syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
31 eqid 2651 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
32 eqid 2651 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3317, 28, 31, 32omllaw4 34851 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋)))
3426, 30, 33sylc 65 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋))
3534fveq2d 6233 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
362, 32, 3, 4, 5polval2N 35510 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
3711, 16, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
38 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
3937, 38ineq12d 3848 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
40 hlop 34967 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OP)
4217, 32opoccl 34799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4341, 21, 42syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4417, 31, 3, 4pmapmeet 35377 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4511, 43, 25, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4639, 45eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4746fveq2d 6233 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
48 hllat 34968 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4911, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
5017, 31latmcl 17099 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5149, 43, 25, 50syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5217, 32, 4, 5polpmapN 35516 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5311, 51, 52syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5447, 53eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5554, 38ineq12d 3848 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5617, 32opoccl 34799 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5741, 51, 56syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5817, 31, 3, 4pmapmeet 35377 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5911, 57, 25, 58syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
6055, 59eqtr4d 2688 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
612, 3, 4, 52polvalN 35518 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6211, 16, 61syl2anc 694 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6335, 60, 623eqtr4d 2695 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
6463ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
6510, 64sylan2d 498 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  lubclub 16989  meetcmee 16992  Latclat 17092  CLatccla 17154  OPcops 34777  OMLcoml 34780  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  pmapcpmap 35101  𝑃cpolN 35506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-pmap 35108  df-polarityN 35507
This theorem is referenced by:  poml5N  35558  poml6N  35559  pexmidlem6N  35579
  Copyright terms: Public domain W3C validator