Theorem prdsleval 16750

Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsleval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem prdsleval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5067	. . 3 ⊢ (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ )
2		prdsbasmpt.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
3		prdsbasmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		prdsbasmpt.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		fnex 6980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8		prdsbasmpt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		fndm 6455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
11		prdsleval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
12	2, 3, 7, 8, 10, 11	prdsle 16735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
13		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
14		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑔 ∈ V
15	13, 14	prss 4753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
16	15	anbi1i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))
17	16	opabbii 5133	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}
18	12, 17	syl6eqr 2874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
19	18	eleq2d 2898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
20	1, 19	syl5bb 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
21		prdsplusgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		prdsplusgval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
23		fveq1 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
24		fveq1 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
25	23, 24	breqan12d 5082	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
26	25	ralbidv 3197	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
27	26	opelopab2a 5422	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
28	21, 22, 27	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
29	20, 28	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  {copab 5128  dom cdm 5555   Fn wfn 6350  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  lecple 16572  X_scprds 16719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-prds 16721

This theorem is referenced by:  xpsle  16852