Theorem breqan12d 5082

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breqan12i.2	⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breqan12d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breqan12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breqan12i.2	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 5071	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   class class class wbr 5066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067

This theorem is referenced by:  breqan12rd  5083  soisores  7080  isoid  7082  isores3  7088  isoini2  7092  ofrfval  7417  fnwelem  7825  fnse  7827  infsupprpr  8968  wemaplem1  9010  r0weon  9438  sornom  9699  enqbreq2  10342  nqereu  10351  ordpinq  10365  lterpq  10392  ltresr2  10563  axpre-ltadd  10589  leltadd  11124  lemul1a  11494  negiso  11621  xltneg  12611  lt2sq  13499  le2sq  13500  expmordi  13532  sqrtle  14620  prdsleval  16750  efgcpbllema  18880  iducn  22892  icopnfhmeo  23547  iccpnfhmeo  23549  xrhmeo  23550  reefiso  25036  sinord  25118  logltb  25183  logccv  25246  atanord  25505  birthdaylem3  25531  lgsquadlem3  25958  mddmd  30078  xrge0iifiso  31178  revwlkb  32372  erdszelem4  32441  erdszelem8  32445  satfv0  32605  cgrextend  33469  matunitlindf  34905  idlaut  37247  monotuz  39558  monotoddzzfi  39559  wepwsolem  39662  fnwe2val  39669  aomclem8  39681  rrx2plord  44727  rrx2plordisom  44730