MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgcl 17315
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsplusgcl.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgcl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsplusgcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsplusgcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsplusgcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsplusgcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
6 ffn 6043 . . . 4 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
8 prdsplusgcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
9 prdsplusgcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
10 prdsplusgcl.p . . 3 + = (+g𝑌)
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsplusgval 16127 . 2 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
125ffvelrnda 6357 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Mnd)
133adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
144adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
157adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
168adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
17 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
181, 2, 13, 14, 15, 16, 17prdsbasprj 16126 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
199adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺𝐵)
201, 2, 13, 14, 15, 19, 17prdsbasprj 16126 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
21 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
22 eqid 2621 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
2321, 22mndcl 17295 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2412, 18, 20, 23syl3anc 1325 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2524ralrimiva 2965 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
261, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 16124 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
2725, 26mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵)
2811, 27eqeltrd 2700 1 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  cmpt 4727   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  Xscprds 16100  Mndcmnd 17288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-hom 15960  df-cco 15961  df-prds 16102  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289
This theorem is referenced by:  prdsmndd  17317  prdsringd  18606  dsmmacl  20079
  Copyright terms: Public domain W3C validator