Theorem prmidlc 30986

Description: Property of a prime ideal in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidlc	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1189	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
2		simpr2 1190	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝐵)
3		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	isprmidlc 30985	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
6	5	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7	6	simp3d 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
8	7	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
9		simpr3 1191	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
10		oveq12 7158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑎 · 𝑏) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	eleq1d 2896	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
12		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → 𝑎 = 𝐼)
13	12	eleq1d 2896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝐼 ∈ 𝑃))
14		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → 𝑏 = 𝐽)
15	14	eleq1d 2896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝐽 ∈ 𝑃))
16	13, 15	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃)))
17	11, 16	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
18	17	rspc2gv 3629	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
19	18	imp31 420	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))
20	1, 2, 8, 9, 19	syl1111anc 837	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476  ._rcmulr 16559  CRingccrg 19291  LIdealclidl 19935  PrmIdealcprmidl 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-subg 18269  df-cmn 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-prmidl 30974

This theorem is referenced by: (None)