MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextltlem 11976
Description: Lemma for qextlt 11977 and qextle . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextltlem ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextltlem
StepHypRef Expression
1 qbtwnxr 11974 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
213expia 1264 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
4 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 qre 11737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
76ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8 xrltnle 10049 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
94, 7, 8syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
103, 9mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥𝐴)
11 xrltle 11926 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴𝑥𝐴))
127, 4, 11syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐴𝑥𝐴))
1310, 12mtod 189 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐴)
14 simprr 795 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
1513, 142thd 255 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
16 nbbn 373 . . . . . 6 ((¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
1715, 16sylib 208 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
18 simpllr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 xrltle 11926 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
207, 18, 19syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
2114, 20mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥𝐵)
2210, 212thd 255 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥𝐴𝑥𝐵))
23 nbbn 373 . . . . . 6 ((¬ 𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2422, 23sylib 208 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2517, 24jca 554 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2625ex 450 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
2726reximdva 3011 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
282, 27syld 47 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cq 11732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733
This theorem is referenced by:  qextlt  11977  qextle  11978
  Copyright terms: Public domain W3C validator