MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdg0 7686
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rdg0 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 7682 . . . 4 Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2 limomss 7235 . . . 4 (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4 peano1 7250 . . 3 ∅ ∈ ω
53, 4sselii 3741 . 2 ∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)
6 eqid 2760 . . 3 (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥 dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥 dom 𝑥)))))
7 rdgvalg 7684 . . 3 (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥 dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
8 rdg.1 . . 3 𝐴 ∈ V
96, 7, 8tz7.44-1 7671 . 2 (∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
105, 9ax-mp 5 1 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230   cuni 4588  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  Lim wlim 5885  cfv 6049  ωcom 7230  reccrdg 7674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675
This theorem is referenced by:  rdg0g  7692  seqomlem1  7714  seqomlem3  7716  om0  7766  oe0  7771  oev2  7772  r10  8804  aleph0  9079  ackbij2lem2  9254  ackbij2lem3  9255  rdgprc  32005  finxp0  33539  finxp1o  33540  finxpreclem4  33542  finxpreclem6  33544
  Copyright terms: Public domain W3C validator