Theorem readdcnnred 43552

Description: The sum of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
readdcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem readdcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3949	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3124	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	addcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 14478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 14584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (0 + (ℑ‘𝐵)))
12	6	imcld 14554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14	13	addid2d 10841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
15	11, 14	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = (ℑ‘𝐵))
16	15	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
17	5, 6	imaddd 14574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
18	17	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = 0))
19		reim0b 14478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
21	16, 18, 20	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
22	9, 21	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
23	22	notbid 320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
24	3, 23	syl5bb 285	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
25	2, 24	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3123   ∖ cdif 3933  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540  ℑcim 14457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460

This theorem is referenced by:  requad01  43835