MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reim0b 13793
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
reim0b (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem reim0b
StepHypRef Expression
1 reim0 13792 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
2 replim 13790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4 oveq2 6612 . . . . . . . 8 ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5 it0e0 11198 . . . . . . . 8 (i · 0) = 0
64, 5syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
76oveq2d 6620 . . . . . 6 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
8 recl 13784 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98recnd 10012 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
109addid1d 10180 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
117, 10sylan9eqr 2677 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
123, 11eqtrd 2655 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
138adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1412, 13eqeltrd 2698 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1514ex 450 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
161, 15impbid2 216 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  cre 13771  cim 13772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775
This theorem is referenced by:  cjreb  13797  reim0bi  13846  reim0bd  13874  cnpart  13914  rlimrecl  14245  absefib  14853  efieq1re  14854  cnsubrg  19725  recld2  22525  aaliou2b  24000  logcj  24256  argimgt0  24262  logcnlem2  24289  logcnlem3  24290  logf1o2  24296  dstregt0  38957
  Copyright terms: Public domain W3C validator