MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpnndm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpnndm 13980
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpnndm ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
21dmeqd 5481 . . . . 5 (𝑛 = 1 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟1))
32sseq1d 3773 . . . 4 (𝑛 = 1 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑚))
65dmeqd 5481 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟𝑚))
76sseq1d 3773 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
109dmeqd 5481 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
1110sseq1d 3773 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑁))
1413dmeqd 5481 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟𝑁))
1514sseq1d 3773 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17 relexp1g 13965 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1817dmeqd 5481 . . . 4 (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) = dom 𝑅)
19 eqimss 3798 . . . 4 (dom (𝑅𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21 relexpsucnnr 13964 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
2221ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
2322dmeqd 5481 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24 dmcoss 5540 . . . . . . 7 dom ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
2523, 24syl6eqss 3796 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
2625a1d 25 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
2726ex 449 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
2827a2d 29 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
294, 8, 12, 16, 20, 28nnind 11230 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
3029imp 444 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  dom cdm 5266  ccom 5270  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  cn 11212  𝑟crelexp 13959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-relexp 13960
This theorem is referenced by:  relexpdmg  13981  relexpnnrn  13984  relexpfld  13988  relexpaddg  13992  relexpaddss  38512
  Copyright terms: Public domain W3C validator