Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprsum 31000
 Description: Sums of values of the members of the representation of 𝑀 equal 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
Assertion
Ref Expression
reprsum (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐶,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprsum
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprf.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2 reprval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 reprval.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 reprval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
52, 3, 4reprval 30997 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
61, 5eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
7 fveq1 6351 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑎) = (𝐶𝑎))
87sumeq2sdv 14634 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎))
98eqeq1d 2762 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀))
109elrab 3504 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀))
116, 10sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀))
1211simprd 482 1 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  0cc0 10128  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ..^cfzo 12659  Σcsu 14615  reprcrepr 30995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-sum 14616  df-repr 30996 This theorem is referenced by:  reprle  31001  reprsuc  31002  reprpmtf1o  31013  hgt750lemb  31043  tgoldbachgt  31050
 Copyright terms: Public domain W3C validator