MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repsdf2 13745
Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsdf2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repsdf2
StepHypRef Expression
1 repsconst 13739 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))
21eqeq2d 2770 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
3 fconst2g 6633 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
43adantr 472 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
5 fconstfv 6641 . . . . . . . . 9 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
6 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆})
7 snssi 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆𝑉 → {𝑆} ⊆ 𝑉)
87adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
98adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
106, 9jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉))
11 fss 6217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉)
12 iswrdi 13515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
14 ffzo0hash 13445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 Fn (0..^𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1514expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = 𝑁))
16 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → 𝑊 Fn (0..^𝑁))
1715, 16syl11 33 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
1918imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
2013, 19jca 555 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2120ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
225, 21syl5bir 233 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
2322expcomd 453 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
2423imp 444 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
25 wrdf 13516 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
26 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
2827fneq2d 6143 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
2928biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3130com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3225, 26, 313syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3332com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3433impd 446 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3534adantr 472 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3624, 35impbid 202 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
3736ex 449 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
3837pm5.32rd 675 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
39 df-3an 1074 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
4038, 5, 393bitr4g 303 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
412, 4, 403bitr2d 296 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  {csn 4321   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  0cn0 11504  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497   repeatS creps 13504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-reps 13512
This theorem is referenced by:  repswsymball  13746  repswsymballbi  13747  cshwrepswhash1  16031
  Copyright terms: Public domain W3C validator