MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswsymballbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswsymballbi 13573
Description: A word is a "repeated symbol word" iff each of its symbols equals the first symbol of the word. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswsymballbi (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
Distinct variable group:   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repswsymballbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (#‘𝑊) = (#‘∅))
2 hash0 13196 . . . . 5 (#‘∅) = 0
31, 2syl6eq 2701 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (#‘𝑊) = 0)
4 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
5 repsw0 13570 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅
76eqcomi 2660 . . . . . 6 ∅ = ((𝑊‘0) repeatS 0)
8 simpr 476 . . . . . 6 (((#‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ∅)
9 oveq2 6698 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) = 0 → ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
109adantr 480 . . . . . 6 (((#‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
117, 8, 103eqtr4a 2711 . . . . 5 (((#‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)))
12 ral0 4109 . . . . . . 7 𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)
13 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = 0 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^0))
14 fzo0 12531 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
1513, 14syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) = 0 → (0..^(#‘𝑊)) = ∅)
1615raleqdv 3174 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
1712, 16mpbiri 248 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1817adantr 480 . . . . 5 (((#‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1911, 182thd 255 . . . 4 (((#‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
203, 19mpancom 704 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
2120a1d 25 . 2 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
22 df-3an 1056 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
24 fstwrdne 13377 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2524ancoms 468 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
26 lencl 13356 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
28 repsdf2 13571 . . . . 5 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
2925, 27, 28syl2anc 694 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
30 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
31 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝑊) = (#‘𝑊))
3230, 31jca 553 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)))
3332biantrurd 528 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
3423, 29, 333bitr4d 300 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3534ex 449 . 2 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
3621, 35pm2.61ine 2906 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   repeatS creps 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-reps 13338
This theorem is referenced by:  cshw1repsw  13615  cshwsidrepsw  15847  cshwshashlem1  15849  cshwshash  15858
  Copyright terms: Public domain W3C validator