MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iswrdi 13106
Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
iswrdi (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdi
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6531 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (0..^𝑙) = (0..^𝐿))
21feq2d 5926 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆))
32rspcev 3277 . . 3 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
4 0nn0 11150 . . . 4 0 ∈ ℕ0
5 fzo0n0 12338 . . . . . . . . 9 ((0..^𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
6 nnnn0 11142 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
75, 6sylbi 205 . . . . . . . 8 ((0..^𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
87necon1bi 2805 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = ∅)
9 fzo0 12312 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
108, 9syl6eqr 2657 . . . . . 6 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = (0..^0))
1110feq2d 5926 . . . . 5 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
1211biimpa 499 . . . 4 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
13 oveq2 6531 . . . . . 6 (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
1413feq2d 5926 . . . . 5 (𝑙 = 0 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
1514rspcev 3277 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝑊:(0..^0)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
164, 12, 15sylancr 693 . . 3 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
173, 16pm2.61ian 826 . 2 (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
18 iswrd 13104 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
1917, 18sylibr 222 1 (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  c0 3869  wf 5782  (class class class)co 6523  0cc0 9788  cn 10863  0cn0 11135  ..^cfzo 12285  Word cword 13088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-word 13096
This theorem is referenced by:  iswrdb  13108  snopiswrd  13111  wrdv  13117  iswrdsymb  13119  iswrddm0  13126  ffz0iswrd  13129  wrdnval  13132  ccatcl  13154  swrdcl  13213  revcl  13303  repsw  13315  repsdf2  13318  cshf1  13349  wrdco  13370  wrdlen2i  13476  pmtrdifwrdellem1  17666  psgnunilem5  17679  ablfaclem2  18250  ablfac2  18253  wrdumgra  25607  wlkntrllem1  25851  is2wlk  25857  constr2wlk  25890  redwlk  25898  constr3trllem1  25940  wlkiswwlk2lem5  25985  clwlkisclwwlklem2a  26075  clwlkfclwwlk2wrd  26129  clwlkf1clwwlklem3  26137  eupatrl  26257  subiwrd  29576  sseqp1  29586  wrdres  29745  ofcccat  29748  signstf  29771  signshwrd  29794  wrdred1  40041  wrdupgr  40309  wrdumgr  40320  crctcshtrl  41024  1wlkiswwlks2lem5  41068  1wlkiswwlksupgr2  41072  clwlkclwwlklem2a  41205  clwlksfclwwlk2wrd  41263  clwlksf1clwwlklem3  41272  upgriseupth  41373
  Copyright terms: Public domain W3C validator