MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschomf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reschomf 16255
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
reschomf (𝜑𝐻 = (Homf𝐷))

Proof of Theorem reschomf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
2 rescbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
4 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
5 rescbas.s . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
61, 2, 3, 4, 5reschom 16254 . . 3 (𝜑𝐻 = (Hom ‘𝐷))
71, 2, 3, 4, 5rescbas 16253 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
87sqxpeqd 5050 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
96, 8fneq12d 5878 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷))))
104, 9mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
11 fnov 6639 . . . 4 ((Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)) ↔ (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
1210, 11sylib 206 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
136, 12eqtrd 2638 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
14 eqid 2604 . . 3 (Homf𝐷) = (Homf𝐷)
15 eqid 2604 . . 3 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16 eqid 2604 . . 3 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
1714, 15, 16homffval 16114 . 2 (Homf𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
1813, 17syl6eqr 2656 1 (𝜑𝐻 = (Homf𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  wss 3534   × cxp 5021   Fn wfn 5780  cfv 5785  (class class class)co 6522  cmpt2 6524  Basecbs 15636  Hom chom 15720  Homf chomf 16091  cat cresc 16232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-hom 15734  df-homf 16095  df-resc 16235
This theorem is referenced by:  subsubc  16277
  Copyright terms: Public domain W3C validator