Theorem rnfi 8807

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5566	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 8806	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 8802	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556  Fincfn 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-fin 8513

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8808  unirnffid  8816  abrexfi  8824  gsum2dlem1  19090  gsum2dlem2  19091  tsmsxplem1  22761  prdsmet  22980  relfi  30352  imafi2  30447  cmpcref  31114  carsggect  31576  carsgclctunlem2  31577  carsgclctunlem3  31578  breprexplema  31901  ptrecube  34907  heicant  34942  mblfinlem1  34944  ftc1anclem3  34984  istotbnd3  35064  sstotbnd2  35067  sstotbnd  35068  totbndbnd  35082  rnmptfi  41447  rnffi  41451  choicefi  41483  stoweidlem39  42344  stoweidlem59  42364  fourierdlem31  42443  fourierdlem42  42454  fourierdlem54  42465  aacllem  44922