MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnfi 8414
Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
rnfi (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi
StepHypRef Expression
1 df-rn 5277 . 2 ran 𝐴 = dom 𝐴
2 cnvfi 8413 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
3 dmfi 8409 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
51, 4syl5eqel 2843 1 (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  Fincfn 8121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-fin 8125
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8415  unirnffid  8423  abrexfi  8431  gsum2dlem1  18569  gsum2dlem2  18570  tsmsxplem1  22157  prdsmet  22376  relfi  29722  imafi2  29798  cmpcref  30226  carsggect  30689  carsgclctunlem2  30690  carsgclctunlem3  30691  breprexplema  31017  ptrecube  33722  heicant  33757  mblfinlem1  33759  ftc1anclem3  33800  istotbnd3  33883  sstotbnd2  33886  sstotbnd  33887  totbndbnd  33901  rnmptfi  39850  rnffi  39855  choicefi  39891  stoweidlem39  40759  stoweidlem59  40779  fourierdlem31  40858  fourierdlem42  40869  fourierdlem54  40880  aacllem  43060
  Copyright terms: Public domain W3C validator