Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpexpmord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpexpmord 38015
Description: Mantissa ordering relationship for exponentiation of positive reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpmord ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6820 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑁) = (𝑏𝑁))
2 oveq1 6820 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑁) = (𝐴𝑁))
3 oveq1 6820 . . 3 (𝑎 = 𝐵 → (𝑎𝑁) = (𝐵𝑁))
4 rpssre 12036 . . 3 + ⊆ ℝ
5 rpre 12032 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
6 nnnn0 11491 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 reexpcl 13071 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑁) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2anr 496 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎𝑁) ∈ ℝ)
9 simplrl 819 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
109rpred 12065 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1211rpred 12065 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
139rpge0d 12069 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14 simpr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15 simpll 807 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 expmordi 38014 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁))
1710, 12, 13, 14, 15, 16syl221anc 1488 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁))
1817ex 449 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁)))
191, 2, 3, 4, 8, 18ltord1 10746 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
20193impb 1108 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128   < clt 10266  cle 10267  cn 11212  0cn0 11484  +crp 12025  cexp 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  38086
  Copyright terms: Public domain W3C validator