Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpneg 11901
 Description: Either a nonzero real or its negation is a positive real, but not both. Axiom 8 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpneg
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 ltle 10164 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
31, 2mpan 706 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
43imp 444 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
54olcd 407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴))
6 renegcl 10382 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
76pm2.24d 147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
9 ltlen 10176 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 0)))
101, 9mpan 706 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 0)))
1110biimprd 238 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴))
1211expcomd 453 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴)))
1312imp 444 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
148, 13jaod 394 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
15 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1614, 15jctild 565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
175, 16impbid2 216 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴)))
18 lenlt 10154 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
191, 18mpan 706 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20 lt0neg1 10572 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
2120notbid 307 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
2219, 21bitrd 268 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
2423orbi2d 738 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
2517, 24bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
26 ianor 508 . . 3 (¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴))
2725, 26syl6bbr 278 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
28 elrp 11872 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
29 elrp 11872 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
3029notbii 309 . 2 (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
3127, 28, 303bitr4g 303 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ℝcr 9973  0cc0 9974   < clt 10112   ≤ cle 10113  -cneg 10305  ℝ+crp 11870 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-rp 11871 This theorem is referenced by:  cnpart  14024  angpined  24602  signsply0  30756
 Copyright terms: Public domain W3C validator