MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgsupp 19210
Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
rrgsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
rrgsupp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x (𝜑𝑋𝐸)
rrgsupp.y (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
rrgsupp (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgsupp.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
2 rrgsupp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐸)
32adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑋𝐸)
4 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑦) ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ V)
6 fconstmpt 5123 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋)
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋))
8 rrgsupp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
98feqmptd 6206 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
101, 3, 5, 7, 9offval2 6867 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
1211fveq1d 6150 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥))
13 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
14 ovex 6632 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V
15 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑌𝑦) = (𝑌𝑥))
1615oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌𝑦)) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
17 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))
1816, 17fvmptg 6237 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1913, 14, 18sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
2012, 19eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
2120neeq1d 2849 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ))
2221rabbidva 3176 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 })
23 rrgsupp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
252adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐸)
268ffvelrnda 6315 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐵)
27 rrgval.e . . . . . . 7 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
28 rrgval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
29 rrgval.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
30 rrgval.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
3127, 28, 29, 30rrgeq0 19209 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3224, 25, 26, 31syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3332necon3bid 2834 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌𝑥) ≠ 0 ))
3433rabbidva 3176 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
3522, 34eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
36 ovex 6632 . . . . . 6 (𝑋 · (𝑌𝑦)) ∈ V
3736, 17fnmpti 5979 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼
38 fneq1 5937 . . . . 5 (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼))
3937, 38mpbiri 248 . . . 4 (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
4010, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
41 fvex 6158 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
4230, 41eqeltri 2694 . . . 4 0 ∈ V
4342a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
44 suppvalfn 7247 . . 3 ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
4540, 1, 43, 44syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
46 ffn 6002 . . . 4 (𝑌:𝐼𝐵𝑌 Fn 𝐼)
478, 46syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝐼)
48 suppvalfn 7247 . . 3 ((𝑌 Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4947, 1, 43, 48syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
5035, 45, 493eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  {csn 4148  cmpt 4673   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848   supp csupp 7240  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  RLRegcrlreg 19198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-rlreg 19202
This theorem is referenced by:  mdegvsca  23740  deg1mul3  23779
  Copyright terms: Public domain W3C validator