Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclfu2 29957
 Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4576 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
2 fzossnn 12454 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3 undif 4026 . . . . . 6 ((1..^𝑁) ⊆ ℕ ↔ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ)
42, 3mpbi 220 . . . . 5 ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ
5 iuneq1 4505 . . . . 5 (((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁))) = ℕ → 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑘 ∈ ((1..^𝑁) ∪ (ℕ ∖ (1..^𝑁)))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)
7 iftrue 4069 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝐴)
87iuneq2i 4510 . . . . 5 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
9 eldifn 3716 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
109iffalsed 4074 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅)
1110iuneq2i 4510 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅
12 iun0 4547 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))∅ = ∅
1311, 12eqtri 2648 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ∅
148, 13uneq12i 3748 . . . 4 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∪ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1..^𝑁))if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅)) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
151, 6, 143eqtr3i 2656 . . 3 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅)
16 un0 3944 . . 3 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ∪ ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
1715, 16eqtri 2648 . 2 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴
18 0elsiga 29950 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
19 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
20 simpllr 798 . . . . . . . . 9 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐴𝑆)
22 simplll 797 . . . . . . . 8 ((((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22ifclda 4097 . . . . . . 7 (((∅ ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2423exp31 629 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑘 ∈ (1..^𝑁) → 𝐴𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)))
2524ralimdv2 2960 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → (∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆))
2625imp 445 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2718, 26sylan 488 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
28 sigaclcu2 29956 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
2927, 28syldan 487 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ if(𝑘 ∈ (1..^𝑁), 𝐴, ∅) ∈ 𝑆)
3017, 29syl5eqelr 2709 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912   ∖ cdif 3557   ∪ cun 3558   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  ifcif 4063  ∪ cuni 4407  ∪ ciun 4490  ran crn 5080  (class class class)co 6605  1c1 9882  ℕcn 10965  ..^cfzo 12403  sigAlgebracsiga 29943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-siga 29944 This theorem is referenced by:  sigaclcu3  29958  measiuns  30053  measiun  30054  meascnbl  30055
 Copyright terms: Public domain W3C validator