Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem40 40575
 Description: This lemma proves that qn is in the subalgebra, as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Q is used to represent qn in the paper, N is used to represent n in the paper, and M is used to represent k^n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem40.1 𝑡𝑃
stoweidlem40.2 𝑡𝜑
stoweidlem40.3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀))
stoweidlem40.4 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
stoweidlem40.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ 1)
stoweidlem40.6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
stoweidlem40.7 (𝜑𝑃𝐴)
stoweidlem40.8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem40.9 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem40.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem40.14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem40 (𝜑𝑄𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝑡,𝐴   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem40
StepHypRef Expression
1 stoweidlem40.3 . . 3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀))
2 stoweidlem40.2 . . . 4 𝑡𝜑
3 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
4 1red 10093 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
5 stoweidlem40.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
65ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
7 stoweidlem40.13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11389 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
106, 9reexpcld 13065 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
114, 10resubcld 10496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12 stoweidlem40.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
1312fvmpt2 6330 . . . . . . 7 ((𝑡𝑇 ∧ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) = (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
143, 11, 13syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) = (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
1514eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = (𝐹𝑡))
1615oveq1d 6705 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀) = ((𝐹𝑡)↑𝑀))
172, 16mpteq2da 4776 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)))
181, 17syl5eq 2697 . 2 (𝜑𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)))
19 nfmpt1 4780 . . . 4 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
2012, 19nfcxfr 2791 . . 3 𝑡𝐹
21 stoweidlem40.9 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
22 stoweidlem40.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
23 stoweidlem40.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
24 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
25 stoweidlem40.5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ 1)
2625fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = 1)
2724, 26mpan2 707 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 → (𝐺𝑡) = 1)
2827eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → 1 = (𝐺𝑡))
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 = (𝐺𝑡))
30 stoweidlem40.6 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
3130fvmpt2 6330 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝑃𝑡)↑𝑁))
323, 10, 31syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝑃𝑡)↑𝑁))
3332eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) = (𝐻𝑡))
3429, 33oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡)))
352, 34mpteq2da 4776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))))
3612, 35syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))))
3723stoweidlem4 40539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3824, 37mpan2 707 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3925, 38syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
40 stoweidlem40.1 . . . . . . 7 𝑡𝑃
41 stoweidlem40.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
4240, 2, 21, 22, 23, 41, 8stoweidlem19 40554 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ 𝐴)
4330, 42syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐴)
44 nfmpt1 4780 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ 1)
4525, 44nfcxfr 2791 . . . . . 6 𝑡𝐺
46 nfmpt1 4780 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
4730, 46nfcxfr 2791 . . . . . 6 𝑡𝐻
48 stoweidlem40.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
4945, 47, 2, 21, 48, 22, 23stoweidlem33 40568 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝐴𝐻𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5039, 43, 49mpd3an23 1466 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5136, 50eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
52 stoweidlem40.14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5352nnnn0d 11389 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5420, 2, 21, 22, 23, 51, 53stoweidlem19 40554 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)) ∈ 𝐴)
5518, 54eqeltrd 2730 1 (𝜑𝑄𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  stoweidlem45  40580
 Copyright terms: Public domain W3C validator