MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structvtxvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structvtxvallem 25843
Description: Lemma for structvtxval 25844 and structiedg0val 25845. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structvtxvallem ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structvtxvallem
StepHypRef Expression
1 fvexd 6170 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
2 structvtxvallem.s . . 3 𝑆 ∈ ℕ
32a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 simpl 473 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉𝑋)
5 simpr 477 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐸𝑌)
6 structvtxvallem.g . . . 4 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
7 prex 4880 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2694 . . 3 𝐺 ∈ V
98a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐺 ∈ V)
10 basendxnn 15864 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ ℕ
1110nnrei 10989 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ ℝ
12 structvtxvallem.b . . . 4 (Base‘ndx) < 𝑆
1311, 12ltneii 10110 . . 3 (Base‘ndx) ≠ 𝑆
1413a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
156eqimss2i 3645 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
1615a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
171, 3, 4, 5, 9, 14, 16hashdmpropge2 13219 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  wss 3560  {cpr 4157  cop 4161   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  cfv 5857   < clt 10034  cle 10035  cn 10980  2c2 11030  #chash 13073  ndxcnx 15797  Basecbs 15800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805
This theorem is referenced by:  structvtxval  25844  structiedg0val  25845
  Copyright terms: Public domain W3C validator