MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumrblem 14375
Description: Lemma for sumrb 14377. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
sumrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 10163 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 482 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 0cnd 9977 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4 sumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 481 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 iftrue 4064 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8 summo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
109ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
11 iffalse 4067 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
12 0cn 9976 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1311, 12syl6eqel 2706 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1410, 13pm2.61d1 171 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
16 summo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
1715, 16fmptd 6340 . . . 4 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
1817adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝐹:ℤ⟶ℂ)
19 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2120adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2218, 21ffvelrnd 6316 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
23 elfzelz 12284 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2423adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
25 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
2620zcnd 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 ax-1cn 9938 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 npcan 10234 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3027, 28, 29sylancl 693 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3130fveq2d 6152 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
3225, 31sseqtr4d 3621 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
33 fznuz 12363 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3433adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3532, 34ssneldd 3586 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
3624, 35eldifd 3566 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
37 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
3837eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑛) = 0))
39 eldifi 3710 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
40 eldifn 3711 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
4140, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
4241, 12syl6eqel 2706 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
4316fvmpt2 6248 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4439, 42, 43syl2anc 692 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4544, 41eqtrd 2655 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
4638, 45vtoclga 3258 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑛) = 0)
4736, 46syl 17 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 0)
482, 3, 5, 22, 47seqid 12786 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  cmpt 4673  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742
This theorem is referenced by:  sumrb  14377
  Copyright terms: Public domain W3C validator