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Theorem swrdswrdlem 13168
Description: Lemma for swrdswrd 13169. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfz2 12071 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
3 elfz2nn0 12167 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
4 elfz2nn0 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5 nn0addcl 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
65adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
76adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8 elnn0z 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9 0red 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10 zre 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 zre 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14 letr 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
159, 11, 13, 14syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16 elnn0z 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17 nn0addcl 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
1817expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
1916, 18sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
2019ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2215, 21syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2322expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2423com34 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2524impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
268, 25sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2726imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2827impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
2928imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
30 nn0re 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35 nn0re 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3732, 34, 36leadd2d 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
3837biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
397, 29, 383jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
4039exp31 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4140com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42413ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
434, 42sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44433ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4544com13 85 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4645ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47463ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
483, 47sylbi 205 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
4948com13 85 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5150com12 32 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52513ad2ant3 1076 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5352imp 443 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
542, 53sylbi 205 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
5554impcom 444 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
5655impcom 444 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57 elfz2nn0 12167 . . 3 ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
5856, 57sylibr 222 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59 elfz2nn0 12167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)))
6028com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
6261impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
64 simpr2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
65 nn0re 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6665, 35anim12i 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67 nn0re 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
6866, 67anim12i 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
69 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7269, 70, 71leaddsub2d 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁𝐿 ≤ (𝑁𝑀)))
73 readdcl 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
7473ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑀 ∈ ℝ → (𝐿 ∈ ℝ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ))
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ ℝ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ))
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ ℝ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ))
7776imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
78 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
7978adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
80 letr 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))
8180expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))
8277, 71, 79, 81syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))
8382imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))
8483a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))
8584ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
8672, 85sylbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
8786com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
8868, 12, 87syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
8988ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
9089com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
9190ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))))
9291com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))))
9392ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))))
9493com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))))
95943imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
9695com15 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
9796adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
9815, 97syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
9998expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))))
10099com35 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))))
101100com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))))
102101impd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
103102com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
104103impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
1058, 104sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
106105imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
107106impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))
108107imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))
109108imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))
11063, 64, 1093jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))
111110exp41 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
112111com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
1131123ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
1144, 113sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
115114com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
11659, 115sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
117116imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
1181173adant1 1071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
119118com13 85 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
120119ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
1211203ad2ant1 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
1223, 121sylbi 205 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
123122com3l 86 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
1241233ad2ant3 1076 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))))
125124imp 443 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
1262, 125sylbi 205 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))))
127126impcom 444 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊))))
128127impcom 444 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))
129 elfz2nn0 12167 . . 3 ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (#‘𝑊)))
130128, 129sylibr 222 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1311, 58, 1303jca 1234 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  cr 9689  0cc0 9690   + caddc 9693  cle 9829  cmin 10016  0cn0 11046  cz 11117  ...cfz 12064  #chash 12846  Word cword 13003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-nn 10775  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-fz 12065
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