MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2 12282
Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ and 𝑁 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2
StepHypRef Expression
1 anass 680 . 2 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
2 df-3an 1038 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
32anbi1i 730 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
4 elfz1 12280 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
5 3anass 1040 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
6 ibar 525 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
75, 6syl5bb 272 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
84, 7bitrd 268 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
9 fzf 12279 . . . . . . 7 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
109fdmi 6014 . . . . . 6 dom ... = (ℤ × ℤ)
1110ndmov 6778 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
1211eleq2d 2684 . . . 4 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
13 noel 3900 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
1413pm2.21i 116 . . . . 5 (𝐾 ∈ ∅ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
15 simpl 473 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1614, 15pm5.21ni 367 . . . 4 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ∅ ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
1712, 16bitrd 268 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
188, 17pm2.61i 176 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
191, 3, 183bitr4ri 293 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  c0 3896  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618   × cxp 5077  (class class class)co 6610  cle 10026  cz 11328  ...cfz 12275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-neg 10220  df-z 11329  df-fz 12276
This theorem is referenced by:  elfz4  12284  elfzuzb  12285  0nelfz1  12309  uzsubsubfz  12312  fzmmmeqm  12323  ssfzunsnext  12335  fzpreddisj  12339  elfz1b  12358  fzp1nel  12372  elfz0ubfz0  12391  elfz0fzfz0  12392  fz0fzelfz0  12393  fz0fzdiffz0  12396  elfzmlbp  12398  preduz  12409  fzind2  12533  swrdswrdlem  13404  swrdswrd  13405  swrdccatin12lem2a  13429  swrdccatin12lem2b  13430  swrdccatin2  13431  swrdccatin12lem2  13433  swrdccat3  13436  2cshwcshw  13515  cshwcsh2id  13518  fprodntriv  14604  fprodeq0  14637  prmgaplem4  15689  chfacfscmulgsum  20593  chfacfpmmulgsum  20597  gausslemma2dlem3  25006  2lgslem1a1  25027  crctcshwlkn0lem3  26586  wwlksnextproplem2  26687  clwlksfclwwlk  26841  monoords  38998  uzfissfz  39029  iuneqfzuzlem  39037  ssuzfz  39052  elfzd  39123  fmul01lt1lem1  39243  fmul01lt1lem2  39244  mccllem  39256  sumnnodd  39289  dvnmul  39486  dvnprodlem1  39489  dvnprodlem2  39490  itgspltprt  39523  stoweidlem3  39548  stoweidlem34  39579  stoweidlem51  39596  fourierdlem12  39664  fourierdlem14  39666  fourierdlem41  39693  fourierdlem48  39699  fourierdlem49  39700  fourierdlem50  39701  fourierdlem79  39730  fourierdlem92  39743  fourierdlem93  39744  elaa2lem  39778  etransclem3  39782  etransclem7  39786  etransclem10  39789  etransclem24  39803  etransclem27  39806  etransclem28  39807  etransclem35  39814  etransclem38  39817  etransclem44  39823  iundjiun  40005  caratheodorylem1  40068  elfzelfzlble  40649  iccpartiltu  40677  pfxccatin12lem1  40743  pfxccatin12lem2  40744  pfxccat3  40746  31prm  40832  nnsum4primeseven  40998  nnsum4primesevenALTV  40999
  Copyright terms: Public domain W3C validator