MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbas 17721
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbas 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 f1of 6094 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
3 elmapg 7815 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
43anidms 676 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
52, 4syl5ibr 236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴)))
65abssdv 3655 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴))
7 ovex 6632 . . . . . 6 (𝐴𝑚 𝐴) ∈ V
8 ssexg 4764 . . . . . 6 (({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴) ∧ (𝐴𝑚 𝐴) ∈ V) → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
96, 7, 8sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
10 eqid 2621 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
1110topgrpbas 15964 . . . . 5 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
129, 11syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13 symgbas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
14 eqid 2621 . . . . . 6 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
15 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))
16 eqid 2621 . . . . . 6 (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
1713, 14, 15, 16symgval 17720 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
1817fveq2d 6152 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
1912, 18eqtr4d 2658 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺))
20 base0 15833 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
21 f1odm 6098 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → dom 𝑥 = 𝐴)
22 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2322dmex 7046 . . . . . . . . 9 dom 𝑥 ∈ V
2421, 23syl6eqelr 2707 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝐴 ∈ V)
2524con3i 150 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
2625pm2.21d 118 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ ∅))
2726abssdv 3655 . . . . 5 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ ∅)
28 ss0 3946 . . . . 5 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ ∅ → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = ∅)
2927, 28syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = ∅)
30 fvprc 6142 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
3113, 30syl5eq 2667 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
3231fveq2d 6152 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
3320, 29, 323eqtr4a 2681 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺))
3419, 33pm2.61i 176 . 2 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺)
351, 34eqtr4i 2646 1 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  {ctp 4152  cop 4154   × cxp 5072  dom cdm 5074  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  𝑚 cmap 7802  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  TopSetcts 15868  tcpt 16020  SymGrpcsymg 17718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-symg 17719
This theorem is referenced by:  elsymgbas2  17722  symghash  17726  symgbasfi  17727  symgplusg  17730  symgbas0  17735  symg1bas  17737  symgtset  17740
  Copyright terms: Public domain W3C validator