Theorem ressbas2 16555

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3952	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5225	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 16554	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2858	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491

This theorem is referenced by:  rescbas  17099  fullresc  17121  resssetc  17352  yoniso  17535  issstrmgm  17863  gsumress  17892  issubmnd  17938  ress0g  17939  submnd0  17940  submbas  17979  resmhm  17985  resgrpplusfrn  18117  subgbas  18283  issubg2  18294  resghm  18374  symgbas  18499  submod  18694  cntrcmnd  18962  ringidss  19327  unitgrpbas  19416  isdrng2  19512  drngmcl  19515  drngid2  19518  isdrngd  19527  cntzsdrg  19581  subdrgint  19582  primefld  19584  islss3  19731  lsslss  19733  lsslsp  19787  reslmhm  19824  resspsrbas  20195  mplbas  20209  ressmplbas  20237  evlssca  20302  mpfconst  20314  mpfind  20320  ply1bas  20363  ressply1bas  20397  evls1sca  20486  xrs1mnd  20583  xrs10  20584  xrs1cmn  20585  xrge0subm  20586  xrge0cmn  20587  cnmsubglem  20608  nn0srg  20615  rge0srg  20616  zringbas  20623  expghm  20643  cnmsgnbas  20722  psgnghm  20724  rebase  20750  dsmmbase  20879  dsmmval2  20880  lsslindf  20974  lsslinds  20975  islinds3  20978  m2cpmrngiso  21366  ressusp  22874  imasdsf1olem  22983  xrge0gsumle  23441  xrge0tsms  23442  cmssmscld  23953  cmsss  23954  minveclem3a  24030  efabl  25134  efsubm  25135  qrngbas  26195  ressplusf  30637  ressnm  30638  ressprs  30642  ressmulgnn  30670  ressmulgnn0  30671  xrge0tsmsd  30692  ress1r  30860  xrge0slmod  30917  drgextlsp  30996  lssdimle  31006  lbslsat  31014  dimkerim  31023  fedgmullem1  31025  fedgmullem2  31026  fedgmul  31027  prsssdm  31160  ordtrestNEW  31164  ordtrest2NEW  31166  xrge0iifmhm  31182  esumpfinvallem  31333  sitgaddlemb  31606  prdsbnd2  35088  cnpwstotbnd  35090  repwsmet  35127  rrnequiv  35128  lcdvbase  38744  selvval2lem4  39185  islssfg  39719  lnmlsslnm  39730  pwssplit4  39738  deg1mhm  39856  gsumge0cl  42702  sge0tsms  42711  cnfldsrngbas  44085  issubmgm2  44106  submgmbas  44112  resmgmhm  44114  amgmlemALT  44953