MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas2 15912
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas2 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3581 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐴)
21biimpi 206 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
3 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
4 fvex 6188 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
53, 4eqeltri 2695 . . . 4 𝐵 ∈ V
65ssex 4793 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
7 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
87, 3ressbas 15911 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
96, 8syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
102, 9eqtr3d 2656 1 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  s cress 15839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-nn 11006  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846
This theorem is referenced by:  rescbas  16470  fullresc  16492  resssetc  16723  yoniso  16906  issstrmgm  17233  gsumress  17257  issubmnd  17299  ress0g  17300  submnd0  17301  submbas  17336  resmhm  17340  resgrpplusfrn  17417  subgbas  17579  issubg2  17590  resghm  17657  submod  17965  ringidss  18558  unitgrpbas  18647  isdrng2  18738  drngmcl  18741  drngid2  18744  isdrngd  18753  islss3  18940  lsslss  18942  lsslsp  18996  reslmhm  19033  issubassa  19305  resspsrbas  19396  mplbas  19410  ressmplbas  19437  evlssca  19503  mpfconst  19511  mpfind  19517  ply1bas  19546  ressply1bas  19580  evls1sca  19669  xrs1mnd  19765  xrs10  19766  xrs1cmn  19767  xrge0subm  19768  xrge0cmn  19769  cnmsubglem  19790  nn0srg  19797  rge0srg  19798  zringbas  19805  expghm  19825  cnmsgnbas  19905  psgnghm  19907  rebase  19933  dsmmbase  20060  dsmmval2  20061  lsslindf  20150  lsslinds  20151  islinds3  20154  m2cpmrngiso  20544  ressusp  22050  imasdsf1olem  22159  xrge0gsumle  22617  xrge0tsms  22618  cmsss  23128  minveclem3a  23179  efabl  24277  efsubm  24278  qrngbas  25289  ressplusf  29624  ressnm  29625  ressprs  29629  ressmulgnn  29657  ressmulgnn0  29658  xrge0tsmsd  29759  ress1r  29763  xrge0slmod  29818  prsssdm  29937  ordtrestNEW  29941  ordtrest2NEW  29943  xrge0iifmhm  29959  esumpfinvallem  30110  sitgaddlemb  30384  prdsbnd2  33565  cnpwstotbnd  33567  repwsmet  33604  rrnequiv  33605  lcdvbase  36701  islssfg  37459  lnmlsslnm  37470  pwssplit4  37478  cntzsdrg  37591  deg1mhm  37604  gsumge0cl  40351  sge0tsms  40360  cnfldsrngbas  41534  issubmgm2  41555  submgmbas  41561  resmgmhm  41563  amgmlemALT  42314
  Copyright terms: Public domain W3C validator