Theorem tlmtgp 22804

Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtgp	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlmlmod 22797	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 19641	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		tlmtmd 22795	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
7	5, 6	grpinvf 18150	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
9	8	feqmptd 6733	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
10		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
14	5, 6, 10, 11, 12, 13	lmodvneg1 19677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
15	1, 14	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ TopMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
17	9, 16	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)))
18		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
19		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
20		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMod)
21		tlmtps 22796	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopSp)
22	5, 18	istps 21542	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
23	21, 22	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
24	10	tlmscatps 22799	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopSp)
25		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	25, 19	istps 21542	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
27	24, 26	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
28	10	lmodring 19642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
30		ringgrp 19302	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
32	25, 12	ringidcl 19318	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	25, 13	grpinvcl 18151	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	31, 33, 34	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	23, 27, 35	cnmptc 22270	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))))
37	23	cnmptid 22269	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
38	10, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37	cnmpt1vsca 22802	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
39	17, 38	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
40	18, 6	istgp 22685	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊))))
41	3, 4, 39, 40	syl3anbrc 1339	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  TopOpenctopn 16695  Grpcgrp 18103  inv_gcminusg 18104  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  TopOnctopon 21518  TopSpctps 21540   Cn ccn 21832  TopMndctmd 22678  TopGrpctgp 22679  TopModctlm 22766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-scaf 19637  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-trg 22768  df-tlm 22770

This theorem is referenced by: (None)