MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodring 18919
Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodring.1 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodring (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Proof of Theorem lmodring
Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2651 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 eqid 2651 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodring.1 . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 eqid 2651 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 eqid 2651 . . 3 (.r𝐹) = (.r𝐹)
8 eqid 2651 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 18915 . 2 (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑟 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g𝐹)𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r𝐹)𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r𝐹)( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
109simp2bi 1097 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  Grpcgrp 17469  1rcur 18547  Ringcrg 18593  LModclmod 18911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-nul 4822
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-iota 5889  df-fv 5934  df-ov 6693  df-lmod 18913
This theorem is referenced by:  lmodfgrp  18920  lmodmcl  18923  lmod0cl  18937  lmod1cl  18938  lmod0vs  18944  lmodvs0  18945  lmodvsmmulgdi  18946  lmodvsneg  18955  lmodsubvs  18967  lmodsubdi  18968  lmodsubdir  18969  lssvnegcl  19004  islss3  19007  pwslmod  19018  lmodvsinv  19084  islmhm2  19086  lbsind2  19129  lspsneq  19170  lspexch  19177  asclghm  19386  ip2subdi  20037  isphld  20047  ocvlss  20064  frlmup1  20185  frlmup2  20186  frlmup3  20187  frlmup4  20188  islindf5  20226  lmisfree  20229  tlmtgp  22046  clmring  22916  lmodslmd  29885  lfl0  34670  lfladd  34671  lflsub  34672  lfl0f  34674  lfladdcl  34676  lfladdcom  34677  lfladdass  34678  lfladd0l  34679  lflnegcl  34680  lflnegl  34681  lflvscl  34682  lflvsdi1  34683  lflvsdi2  34684  lflvsass  34686  lfl0sc  34687  lflsc0N  34688  lfl1sc  34689  lkrlss  34700  eqlkr  34704  eqlkr3  34706  lkrlsp  34707  ldualvsass  34746  lduallmodlem  34757  ldualvsubcl  34761  ldualvsubval  34762  lkrin  34769  dochfl1  37082  lcfl7lem  37105  lclkrlem2m  37125  lclkrlem2o  37127  lclkrlem2p  37128  lcfrlem1  37148  lcfrlem2  37149  lcfrlem3  37150  lcfrlem29  37177  lcfrlem33  37181  lcdvsubval  37224  mapdpglem30  37308  baerlem3lem1  37313  baerlem5alem1  37314  baerlem5blem1  37315  baerlem5blem2  37318  hgmapval1  37502  hdmapinvlem3  37529  hdmapinvlem4  37530  hdmapglem5  37531  hgmapvvlem1  37532  hdmapglem7b  37537  hdmapglem7  37538  lmod0rng  42193  ascl1  42491  linc0scn0  42537  linc1  42539  lincscm  42544  lincscmcl  42546  el0ldep  42580  lindsrng01  42582  lindszr  42583  ldepsprlem  42586  ldepspr  42587  lincresunit3lem3  42588  lincresunitlem1  42589  lincresunitlem2  42590  lincresunit2  42592  lincresunit3lem1  42593
  Copyright terms: Public domain W3C validator