MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodring 18643
Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodring.1 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodring (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Proof of Theorem lmodring
Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2610 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 eqid 2610 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodring.1 . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 eqid 2610 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 eqid 2610 . . 3 (.r𝐹) = (.r𝐹)
8 eqid 2610 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 18639 . 2 (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑟 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g𝐹)𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r𝐹)𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r𝐹)( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
109simp2bi 1070 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  .rcmulr 15718  Scalarcsca 15720   ·𝑠 cvsca 15721  Grpcgrp 17194  1rcur 18273  Ringcrg 18319  LModclmod 18635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4712
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-iota 5754  df-fv 5798  df-ov 6530  df-lmod 18637
This theorem is referenced by:  lmodfgrp  18644  lmodmcl  18647  lmod0cl  18661  lmod1cl  18662  lmod0vs  18668  lmodvs0  18669  lmodvsmmulgdi  18670  lmodvsneg  18679  lmodsubvs  18691  lmodsubdi  18692  lmodsubdir  18693  lssvnegcl  18726  islss3  18729  pwslmod  18740  lmodvsinv  18806  islmhm2  18808  lbsind2  18851  lspsneq  18892  lspexch  18899  asclghm  19108  ip2subdi  19756  isphld  19766  ocvlss  19783  frlmup1  19904  frlmup2  19905  frlmup3  19906  frlmup4  19907  islindf5  19945  lmisfree  19948  tlmtgp  21757  clmring  22626  lmodslmd  28882  lfl0  33164  lfladd  33165  lflsub  33166  lfl0f  33168  lfladdcl  33170  lfladdcom  33171  lfladdass  33172  lfladd0l  33173  lflnegcl  33174  lflnegl  33175  lflvscl  33176  lflvsdi1  33177  lflvsdi2  33178  lflvsass  33180  lfl0sc  33181  lflsc0N  33182  lfl1sc  33183  lkrlss  33194  eqlkr  33198  eqlkr3  33200  lkrlsp  33201  ldualvsass  33240  lduallmodlem  33251  ldualvsubcl  33255  ldualvsubval  33256  lkrin  33263  dochfl1  35577  lcfl7lem  35600  lclkrlem2m  35620  lclkrlem2o  35622  lclkrlem2p  35623  lcfrlem1  35643  lcfrlem2  35644  lcfrlem3  35645  lcfrlem29  35672  lcfrlem33  35676  lcdvsubval  35719  mapdpglem30  35803  baerlem3lem1  35808  baerlem5alem1  35809  baerlem5blem1  35810  baerlem5blem2  35813  hgmapval1  35997  hdmapinvlem3  36024  hdmapinvlem4  36025  hdmapglem5  36026  hgmapvvlem1  36027  hdmapglem7b  36032  hdmapglem7  36033  lmod0rng  41650  ascl1  41952  linc0scn0  41998  linc1  42000  lincscm  42005  lincscmcl  42007  el0ldep  42041  lindsrng01  42043  lindszr  42044  ldepsprlem  42047  ldepspr  42048  lincresunit3lem3  42049  lincresunitlem1  42050  lincresunitlem2  42051  lincresunit2  42053  lincresunit3lem1  42054
  Copyright terms: Public domain W3C validator