MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmres 24046
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmres.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
ulmres.m (𝜑𝑁𝑍)
ulmres.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 24037 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
2 ulmcl 24039 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2jca 554 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5 ulmscl 24037 . . . 4 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
6 ulmcl 24039 . . . 4 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
75, 6jca 554 . . 3 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
87a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑍)
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 eluzel2 11636 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1510rexuz3 14022 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
17 eluzelz 11641 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1812, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 ulmres.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ𝑁)
2019rexuz3 14022 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2216, 21bitr4d 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2322ralbidv 2980 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
24 ulmres.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
26 eqidd 2622 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
27 eqidd 2622 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
28 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 24043 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
31 uzss 11652 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3212, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3332, 19, 103sstr4g 3625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊𝑍)
3425, 33fssresd 6028 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
35 fvres 6164 . . . . . . 7 (𝑘𝑊 → ((𝐹𝑊)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3635ad2antrl 763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑊)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3736fveq1d 6150 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (((𝐹𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3819, 18, 34, 37, 27, 28, 29ulm2 24043 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
3923, 30, 383bitr4d 300 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))
4039ex 450 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺)))
414, 8, 40pm5.21ndd 369 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  cc 9878   < clt 10018  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  𝑢culm 24034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-ulm 24035
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24086
  Copyright terms: Public domain W3C validator