Theorem eluzel2 12249

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6702	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12247	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6524	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2923	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4539  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  eluz2  12250  uztrn  12262  uzneg  12264  uzss  12266  uz11  12268  eluzadd  12274  subeluzsub  12276  uzm1  12277  uzin  12279  uzind4  12307  uzsupss  12341  elfz5  12901  elfzel1  12908  eluzfz1  12915  fzsplit2  12933  fzopth  12945  ssfzunsn  12954  fzpred  12956  fzpreddisj  12957  uzsplit  12980  uzdisj  12981  fzm1  12988  uznfz  12991  nn0disj  13024  preduz  13030  fzolb  13045  fzoss2  13066  fzouzdisj  13074  fzoun  13075  ige2m2fzo  13101  fzen2  13338  seqp1  13385  seqcl  13391  seqfeq2  13394  seqfveq  13395  seqshft2  13397  seqsplit  13404  seqcaopr3  13406  seqf1olem2a  13409  seqf1olem1  13410  seqf1olem2  13411  seqid  13416  seqhomo  13418  seqz  13419  leexp2a  13537  hashfz  13789  fzsdom2  13790  hashfzo  13791  hashfzp1  13793  seqcoll  13823  rexanuz2  14709  cau4  14716  clim2ser  15011  clim2ser2  15012  climserle  15019  caurcvg  15033  caucvg  15035  fsumcvg  15069  fsumcvg2  15084  fsumsers  15085  fsumm1  15106  fsum1p  15108  fsumrev2  15137  telfsumo  15157  fsumparts  15161  cvgcmp  15171  cvgcmpub  15172  cvgcmpce  15173  isumsplit  15195  clim2prod  15244  clim2div  15245  prodfrec  15251  ntrivcvgtail  15256  fprodcvg  15284  fprodser  15303  fprodm1  15321  fprodeq0  15329  pcaddlem  16224  vdwnnlem2  16332  prmlem0  16439  gsumval2a  17895  telgsumfzs  19109  dvfsumle  24618  dvfsumge  24619  dvfsumabs  24620  coeid3  24830  ulmres  24976  ulmss  24985  chtdif  25735  ppidif  25740  bcmono  25853  axlowdimlem6  26733  inffz  32961  mettrifi  35047  jm2.25  39645  jm2.16nn0  39650  dvgrat  40693  ssinc  41402  ssdec  41403  fzdifsuc2  41626  iuneqfzuzlem  41651  ssuzfz  41666  ioodvbdlimc1lem2  42266  ioodvbdlimc2lem  42268  carageniuncllem1  42852  caratheodorylem1  42857