MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzel2 11521
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6112 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ)
2 uzf 11519 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
32fdmi 5948 . 2 dom ℤ = ℤ
41, 3syl6eleq 2694 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  𝒫 cpw 4104  dom cdm 5025  cfv 5787  cz 11207  cuz 11516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-fv 5795  df-ov 6527  df-neg 10117  df-z 11208  df-uz 11517
This theorem is referenced by:  eluz2  11522  uztrn  11533  uzneg  11535  uzss  11537  uz11  11539  eluzadd  11545  uzm1  11547  uzin  11549  uzind4  11575  uzsupss  11609  elfz5  12157  elfzel1  12164  eluzfz1  12171  fzsplit2  12189  fzopth  12201  ssfzunsn  12209  fzpred  12211  fzpreddisj  12212  uzsplit  12233  uzdisj  12234  fzm1  12241  uznfz  12244  nn0disj  12276  preduz  12282  fzolb  12297  fzoss2  12317  fzouzdisj  12325  ige2m2fzo  12350  fzen2  12582  seqp1  12630  seqcl  12635  seqfeq2  12638  seqfveq  12639  seqshft2  12641  seqsplit  12648  seqcaopr3  12650  seqf1olem2a  12653  seqf1olem1  12654  seqf1olem2  12655  seqid  12660  seqhomo  12662  seqz  12663  leexp2a  12730  hashfz  13023  fzsdom2  13024  hashfzo  13025  hashfzp1  13027  seqcoll  13054  rexanuz2  13880  cau4  13887  clim2ser  14176  clim2ser2  14177  climserle  14184  caurcvg  14198  caucvg  14200  fsumcvg  14233  fsumcvg2  14248  fsumsers  14249  fsumm1  14267  fsum1p  14269  fsumrev2  14299  telfsumo  14318  fsumparts  14322  cvgcmp  14332  cvgcmpub  14333  cvgcmpce  14334  isumsplit  14354  clim2prod  14402  clim2div  14403  prodfrec  14409  ntrivcvgtail  14414  fprodcvg  14442  fprodser  14461  fprodm1  14479  fprodeq0  14487  pcaddlem  15373  vdwnnlem2  15481  prmlem0  15593  gsumval2a  17045  telgsumfzs  18152  dvfsumle  23502  dvfsumge  23503  dvfsumabs  23504  coeid3  23714  ulmres  23860  ulmss  23869  chtdif  24598  ppidif  24603  bcmono  24716  axlowdimlem6  25542  extwwlkfablem2  26368  inffz  30670  inffzOLD  30671  mettrifi  32523  jm2.25  36384  jm2.16nn0  36389  dvgrat  37333  ssinc  38092  ssdec  38093  fzdifsuc2  38267  iuneqfzuzlem  38292  ssuzfz  38307  ioodvbdlimc1lem2  38623  ioodvbdlimc2lem  38625  carageniuncllem1  39212  caratheodorylem1  39217  av-extwwlkfablem2  41509
  Copyright terms: Public domain W3C validator