MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrbi 25891
Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrbi.x 𝑋𝑉
umgrbi.y 𝑌𝑉
umgrbi.n 𝑋𝑌
Assertion
Ref Expression
umgrbi {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem umgrbi
StepHypRef Expression
1 umgrbi.x . . . 4 𝑋𝑉
2 umgrbi.y . . . 4 𝑌𝑉
3 prssi 4321 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
41, 2, 3mp2an 707 . . 3 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5 prex 4870 . . . 4 {𝑋, 𝑌} ∈ V
65elpw 4136 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
74, 6mpbir 221 . 2 {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
8 umgrbi.n . . . 4 𝑋𝑌
9 hashprg 13122 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝑌 ↔ (#‘{𝑋, 𝑌}) = 2))
108, 9mpbii 223 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (#‘{𝑋, 𝑌}) = 2)
111, 2, 10mp2an 707 . 2 (#‘{𝑋, 𝑌}) = 2
12 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (#‘𝑥) = (#‘{𝑋, 𝑌}))
1312eqeq1d 2623 . . 3 (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝑋, 𝑌}) = 2))
1413elrab 3346 . 2 ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘{𝑋, 𝑌}) = 2))
157, 11, 14mpbir2an 954 1 {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {cpr 4150  cfv 5847  2c2 11014  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  konigsbergiedgw  26974
  Copyright terms: Public domain W3C validator