Theorem usgrexmpldifpr 27040

Description: Lemma for usgrexmpledg 27044: all "edges" are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpldifpr	⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Proof of Theorem usgrexmpldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11993	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12013	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4		2z 12015	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	2, 4	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
6	3, 5	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7		ax-1ne0 10606	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8	7	necomi 3070	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9		2ne0 11742	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	necomi 3070	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
11	8, 10	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
12	11	orci 861	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
13		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
14	6, 12, 13	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {1, 2}
15	4, 1	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
16	3, 15	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
17		1ne2 11846	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
18	17, 7	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)
19	18	olci 862	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0))
20		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)) → {0, 1} ≠ {2, 0}))
21	16, 19, 20	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {2, 0}
22		3nn 11717	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	1, 22	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)
24	3, 23	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
25		1re 10641	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt3 11811	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
27	25, 26	ltneii 10753	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
28	7, 27	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
29	28	olci 862	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
30		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
31	24, 29, 30	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 3}
32	14, 21, 31	3pm3.2i 1335	. 2 ⊢ ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
33	5, 15	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
34	18	orci 861	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0))
35		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0)) → {1, 2} ≠ {2, 0}))
36	33, 34, 35	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {2, 0}
37	5, 23	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
38	28	orci 861	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
39		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
40	37, 38, 39	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {0, 3}
41	15, 23	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
42		2re 11712	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		2lt3 11810	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
44	42, 43	ltneii 10753	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
45	9, 44	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
46	45	orci 861	. . . 4 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3))
47		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3)) → {2, 0} ≠ {0, 3}))
48	41, 46, 47	mp2 9	. . 3 ⊢ {2, 0} ≠ {0, 3}
49	36, 40, 48	3pm3.2i 1335	. 2 ⊢ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})
50	32, 49	pm3.2i 473	1 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {cpr 4569  0cc0 10537  1c1 10538  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  ℤcz 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-z 11983

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  27041  usgrexmpledg  27044