Theorem uzssz 11745

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 11728	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelrni 6398	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4203	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6090	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2748	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6256	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4005	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	syl6eqss 3688	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 176	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  uzwo  11789  uzwo2  11790  infssuzle  11809  infssuzcl  11810  uzsupss  11818  uzwo3  11821  fzof  12506  uzsup  12702  cau3  14139  caubnd  14142  limsupgre  14256  rlimclim  14321  climz  14324  climaddc1  14409  climmulc2  14411  climsubc1  14412  climsubc2  14413  climlec2  14433  isercolllem1  14439  isercolllem2  14440  isercoll  14442  caurcvg  14451  caucvg  14453  iseraltlem1  14456  iseraltlem2  14457  iseraltlem3  14458  summolem2a  14490  summolem2  14491  zsum  14493  fsumcvg3  14504  climfsum  14596  divcnvshft  14631  clim2prod  14664  ntrivcvg  14673  ntrivcvgfvn0  14675  ntrivcvgtail  14676  ntrivcvgmullem  14677  ntrivcvgmul  14678  prodrblem  14703  prodmolem2a  14708  prodmolem2  14709  zprod  14711  4sqlem11  15706  gsumval3  18354  lmbrf  21112  lmres  21152  uzrest  21748  uzfbas  21749  lmflf  21856  lmmbrf  23106  iscau4  23123  iscauf  23124  caucfil  23127  lmclimf  23148  mbfsup  23476  mbflimsup  23478  ig1pdvds  23981  ulmval  24179  ulmpm  24182  2sqlem6  25193  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  ballotlemiex  30691  ballotlemsdom  30701  ballotlemsima  30705  ballotlemrv2  30711  breprexplemc  30838  erdszelem4  31302  erdszelem8  31306  caures  33686  diophin  37653  irrapxlem1  37703  monotuz  37823  hashnzfzclim  38838  uzmptshftfval  38862  uzct  39546  uzfissfz  39855  ssuzfz  39878  uzssre  39933  uzssre2  39946  uzssz2  39998  uzinico2  40107  fnlimfvre  40224  climleltrp  40226  limsupequzmpt2  40268  limsupequzlem  40272  liminfequzmpt2  40341  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  sge0isum  40962  smflimlem1  41300  smflimlem2  41301  smflim  41306