Theorem uzssz 11542

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 11525	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelrni 6251	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4117	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 5951	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2705	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6113	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 3923	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	syl6eqss 3617	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 174	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1976   ⊆ wss 3539  ∅c0 3873  𝒫 cpw 4107  dom cdm 5028  ‘cfv 5790  ℤcz 11213  ℤ_≥cuz 11522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-neg 10121  df-z 11214  df-uz 11523

This theorem is referenced by:  uzwo  11586  uzwo2  11587  infssuzle  11606  infssuzcl  11607  uzsupss  11615  uzwo3  11618  fzof  12294  uzsup  12482  cau3  13892  caubnd  13895  limsupgre  14009  rlimclim  14074  climz  14077  climaddc1  14162  climmulc2  14164  climsubc1  14165  climsubc2  14166  climlec2  14186  isercolllem1  14192  isercolllem2  14193  isercoll  14195  caurcvg  14204  caucvg  14206  iseraltlem1  14209  iseraltlem2  14210  iseraltlem3  14211  summolem2a  14242  summolem2  14243  zsum  14245  fsumcvg3  14256  climfsum  14342  divcnvshft  14375  clim2prod  14408  ntrivcvg  14417  ntrivcvgfvn0  14419  ntrivcvgtail  14420  ntrivcvgmullem  14421  ntrivcvgmul  14422  prodrblem  14447  prodmolem2a  14452  prodmolem2  14453  zprod  14455  4sqlem11  15446  gsumval3  18080  lmbrf  20822  lmres  20862  uzrest  21459  uzfbas  21460  lmflf  21567  lmmbrf  22813  iscau4  22830  iscauf  22831  caucfil  22834  lmclimf  22855  mbfsup  23182  mbflimsup  23184  ig1pdvds  23685  ulmval  23883  ulmpm  23886  2sqlem6  24893  ballotlemfc0  29715  ballotlemfcc  29716  ballotlemiex  29724  ballotlemsdom  29734  ballotlemsima  29738  ballotlemrv2  29744  erdszelem4  30264  erdszelem8  30268  caures  32550  diophin  36178  irrapxlem1  36228  monotuz  36348  hashnzfzclim  37367  uzmptshftfval  37391  uzct  38081  uzfissfz  38307  ssuzfz  38330  fnlimfvre  38565  climleltrp  38567  ioodvbdlimc1lem2  38646  ioodvbdlimc2lem  38648  sge0isum  39144  smflimlem1  39481  smflimlem2  39482  smflim  39487