MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 26270
Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6149 . . . 4 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 eqid 2621 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 26251 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
72, 6syl5eq 2667 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐷𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
87eqeq1d 2623 . 2 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0))
9 fvex 6158 . . . . . . . 8 (iEdg‘𝐺) ∈ V
104, 9eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110dmex 7046 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1211rabex 4773 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V
13 hashxnn0 13067 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*
1511rabex 4773 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V
16 hashxnn0 13067 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
1814, 17pm3.2i 471 . . 3 ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
19 xnn0xadd0 12020 . . 3 (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
2018, 19mp1i 13 . 2 (𝑈𝑉 → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
21 hasheq0 13094 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅))
2212, 21ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅)
23 hasheq0 13094 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
2415, 23ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅)
2522, 24anbi12i 732 . . . 4 (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
26 rabeq0 3931 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))
27 rabeq0 3931 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈})
2826, 27anbi12i 732 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
29 ralnex 2986 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3029bicomi 214 . . . . . 6 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
31 ioran 511 . . . . . . 7 (¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3231ralbii 2974 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
33 r19.26 3057 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3430, 32, 333bitri 286 . . . . 5 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3534bicomi 214 . . . 4 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3625, 28, 353bitri 286 . . 3 (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
37 snidg 4177 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈})
38 eleq2 2687 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
3937, 38syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑈𝑉 → ((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
40 pm4.72 919 . . . . . . 7 (((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4139, 40sylib 208 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
42 orcom 402 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4341, 42syl6rbbr 279 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4443rexbidv 3045 . . . 4 (𝑈𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4544notbid 308 . . 3 (𝑈𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4636, 45syl5bb 272 . 2 (𝑈𝑉 → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
478, 20, 463bitrd 294 1 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  c0 3891  {csn 4148  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  0*cxnn0 11307   +𝑒 cxad 11888  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  VtxDegcvtxdg 26248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-hash 13058  df-vtxdg 26249
This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  26274  vtxduhgr0edgnel  26276  1loopgrvd0  26286  1hevtxdg0  26287
  Copyright terms: Public domain W3C validator