MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrvd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd0 26381
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd0.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgrvd0.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
21eldifbd 3580 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3 1loopgruspgr.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
4 snex 4899 . . . . . 6 {𝑁} ∈ V
5 fvsng 6432 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
63, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
76eleq2d 2685 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
82, 7mtbird 315 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
9 1loopgruspgr.i . . . . . . 7 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
109dmeqd 5315 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
11 dmsnopg 5594 . . . . . . 7 ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
124, 11mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
1310, 12eqtrd 2654 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
149fveq1d 6180 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
1514eleq2d 2685 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
1613, 15rexeqbidv 3148 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
17 fveq2 6178 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
1817eleq2d 2685 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
1918rexsng 4210 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
2116, 20bitrd 268 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
228, 21mtbird 315 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
231eldifad 3579 . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
24 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2524eleq2d 2685 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾𝑉))
2623, 25mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
27 eqid 2620 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28 eqid 2620 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29 eqid 2620 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3027, 28, 29vtxd0nedgb 26365 . . 3 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
3126, 30syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
3222, 31mpbird 247 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  Vcvv 3195  cdif 3564  {csn 4168  cop 4174  dom cdm 5104  cfv 5876  0cc0 9921  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856  VtxDegcvtxdg 26342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-xadd 11932  df-fz 12312  df-hash 13101  df-vtxdg 26343
This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  26388  eupth2lem3lem3  27070
  Copyright terms: Public domain W3C validator