Theorem wlklenvclwlkOLD 27433

Description: Obsolete version of wlklenvclwlk 27432 as of 14-Jan-2024. The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvclwlkOLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlkOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5060	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlklenvp1 27396	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3		wlkcl 27393	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4		wrdsymb1 13898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	s1cld 13950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6		ccatlenOLD 13921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
7	5, 6	syldan 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
8		s1len 13953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
10	9	oveq2d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	7, 10	eqtrd 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
12	11	eqeq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)))
13		lencl 13877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		eqcom 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
15		nn0cn 11901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
16	15	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
17		nn0cn 11901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
19		1cnd 10629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	addcan2d 10837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
21	20	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
22	14, 21	syl5bi 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
23	22	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
24	23	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
26	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
27	12, 26	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
28	27	com3l 89	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
29	2, 3, 28	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
30	1, 29	sylbir 237	. 2 ⊢ (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
31	30	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4566   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   ≤ cle 10669  ℕ₀cn0 11891  ♯chash 13687  Word cword 13858   ++ cconcat 13915  ⟨“cs1 13942  Vtxcvtx 26777  Walkscwlks 27374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-hash 13688  df-word 13859  df-concat 13916  df-s1 13943  df-wlks 27377

This theorem is referenced by: (None)