MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0cn 11340
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0cn (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cn
StepHypRef Expression
1 nn0sscn 11335 . 2 0 ⊆ ℂ
21sseli 3632 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cc 9972  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  11362  elnn0nn  11373  nn0sub  11381  difgtsumgt  11384  nn0n0n1ge2  11396  uzaddcl  11782  fzctr  12490  nn0split  12493  elfzoext  12564  zpnn0elfzo1  12581  ubmelm1fzo  12604  subfzo0  12630  quoremnn0ALT  12696  modmuladdnn0  12754  addmodidr  12759  modfzo0difsn  12782  nn0ennn  12818  expadd  12942  expmul  12945  bernneq  13030  bernneq2  13031  faclbnd  13117  faclbnd4lem3  13122  faclbnd4lem4  13123  faclbnd6  13126  bccmpl  13136  bcn0  13137  bcnn  13139  bcnp1n  13141  bcn2  13146  bcp1m1  13147  bcpasc  13148  bcn2p1  13152  hashfzo0  13255  hashfz0  13257  hashxplem  13258  brfi1indlem  13316  ccatalpha  13411  ccatws1lenp1b  13439  ccatw2s1len  13444  ccatw2s1lenOLD  13445  addlenrevswrd  13483  swrdfv2  13492  swrdspsleq  13495  swrdlsw  13498  swrd0swrd  13507  ccats1swrdeq  13515  wrdind  13522  wrd2ind  13523  swrdccatin12lem1  13530  swrdccatin12lem2b  13532  swrdccatin12lem2  13535  swrdccatin12  13537  swrdccat3blem  13541  repswswrd  13577  repswrevw  13579  cshwidxmodr  13596  2cshw  13605  2cshwcshw  13617  cshwcshid  13619  swrds2  13731  swrd2lsw  13741  iseraltlem2  14457  fsum0diag2  14559  hashiun  14598  ackbijnn  14604  binom1dif  14609  bcxmas  14611  geolim  14645  geomulcvg  14651  risefacval2  14785  fallfacval2  14786  risefaccl  14790  fallfaccl  14791  fallrisefac  14800  risefacp1  14804  fallfacp1  14805  fallfacfac  14820  bpolysum  14828  fsumkthpow  14831  bpoly4  14834  fsumcube  14835  efaddlem  14867  efexp  14875  eftlub  14883  demoivreALT  14975  nn0ob  15147  divalglem4  15166  modremain  15179  mulgcdr  15314  nn0seqcvgd  15330  modprmn0modprm0  15559  coprimeprodsq  15560  coprimeprodsq2  15561  pcexp  15611  dvdsprmpweqle  15637  difsqpwdvds  15638  ramub1lem1  15777  prmop1  15789  mulgneg2  17622  mndodcongi  18008  oddvdsnn0  18009  sylow1lem1  18059  efgsrel  18193  srgbinomlem4  18589  psrbagconf1o  19422  psrass1lem  19425  psrlidm  19451  psrass1  19453  psrcom  19457  mplsubrglem  19487  mplmonmul  19512  psropprmul  19656  coe1sclmul  19700  coe1sclmul2  19702  cnfldmulg  19826  nn0subm  19849  nn0srg  19864  dvnadd  23737  ply1divex  23941  elqaalem2  24120  geolim3  24139  dvradcnv  24220  pserdv2  24229  logtayllem  24450  logtayl  24451  cxpmul2  24480  atantayl3  24711  leibpilem2  24713  leibpi  24714  log2cnv  24716  dmgmaddn0  24794  chpp1  24926  0sgmppw  24968  logexprlim  24995  dchrhash  25041  bcctr  25045  bcmono  25047  bcmax  25048  bcp1ctr  25049  2lgslem1c  25163  2lgslem3a  25166  2lgslem3b  25167  2lgslem3c  25168  2lgslem3d  25169  2lgslem3a1  25170  2lgslem3b1  25171  2lgslem3c1  25172  2lgslem3d1  25173  dchrisumlem1  25223  ostth2lem2  25368  wlklenvclwlk  26607  upgrwlkdvdelem  26688  wwlknp  26791  wwlknlsw  26796  wlkiswwlks1  26821  wlklnwwlkln2lem  26836  wwlksnred  26855  wwlksnext  26856  wwlksnredwwlkn  26858  wwlksnextwrd  26860  wwlksnextinj  26862  wwlksnextproplem2  26873  wwlksnextproplem3  26874  wspthsnwspthsnon  26879  wspthsnwspthsnonOLD  26881  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  clwlkclwwlklem2  26966  clwlkclwwlklem3  26967  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  clwwlknonex2lem2  27083  eucrctshift  27221  eucrct2eupth  27223  numclwwlk2lem1lem  27324  numclwwlk2lem1lemOLD  27325  numclwwlk1  27351  numclwwlk7  27378  ipasslem1  27814  ipasslem2  27815  dpfrac1  29727  dpfrac1OLD  29728  archirngz  29871  subfacval2  31295  bccolsum  31751  faclimlem1  31755  poimirlem28  33567  heiborlem4  33743  heiborlem6  33745  pell14qrgt0  37740  pell14qrdich  37750  pell1qrge1  37751  2nn0ind  37827  jm2.17a  37844  jm2.18  37872  jm2.19lem3  37875  proot1ex  38096  bcc0  38856  dvradcnv2  38863  binomcxplemrat  38866  binomcxplemnotnn0  38872  fperiodmullem  39831  stoweidlem10  40545  stoweidlem17  40552  stoweidlem26  40561  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  etransclem23  40792  subsubelfzo0  41661  fargshiftfo  41703  pfxmpt  41712  addlenrevpfx  41722  pfxccatin12lem1  41748  pfxccatin12lem2  41749  pfxccatin12  41750  fmtnodvds  41781  goldbachthlem1  41782  fmtnofac2lem  41805  fmtnofac1  41807  nn0onn0exALTV  41934  nn0enn0exALTV  41935  ply1mulgsumlem1  42499  ply1mulgsumlem2  42500  nn0onn0ex  42643  nn0enn0ex  42644  fllog2  42687  dignn0fr  42720  digexp  42726  0dig2nn0e  42731  0dig2nn0o  42732  dignn0ehalf  42736  nn0mulfsum  42743  nn0mullong  42744
  Copyright terms: Public domain W3C validator