MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0cn 11151
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0cn (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cn
StepHypRef Expression
1 nn0sscn 11146 . 2 0 ⊆ ℂ
21sseli 3563 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cc 9790  0cn0 11141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-nn 10870  df-n0 11142
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  11173  elnn0nn  11184  nn0sub  11192  difgtsumgt  11195  nn0n0n1ge2  11207  uzaddcl  11578  fzctr  12277  nn0split  12280  elfzoext  12349  zpnn0elfzo1  12365  ubmelm1fzo  12387  subfzo0  12409  quoremnn0ALT  12475  modmuladdnn0  12533  addmodidr  12538  modfzo0difsn  12561  nn0ennn  12597  expadd  12721  expmul  12724  bernneq  12809  bernneq2  12810  faclbnd  12896  faclbnd4lem3  12901  faclbnd4lem4  12902  faclbnd6  12905  bccmpl  12915  bcn0  12916  bcnn  12918  bcnp1n  12920  bcn2  12925  bcp1m1  12926  bcpasc  12927  bcn2p1  12931  hashfzo0  13031  hashfz0  13033  hashxplem  13034  brfi1indlem  13081  ccatalpha  13176  ccatw2s1len  13202  addlenrevswrd  13237  swrdfv2  13246  swrdspsleq  13249  swrdlsw  13252  swrd0swrd  13261  ccats1swrdeq  13269  wrdind  13276  wrd2ind  13277  swrdccatin12lem1  13283  swrdccatin12lem2b  13285  swrdccatin12lem2  13288  swrdccatin12  13290  swrdccat3blem  13294  repswswrd  13330  repswrevw  13332  cshwidxmodr  13349  2cshw  13358  2cshwcshw  13370  cshwcshid  13372  swrds2  13481  swrd2lsw  13491  iseraltlem2  14209  fsum0diag2  14305  hashiun  14343  ackbijnn  14347  binom1dif  14352  bcxmas  14354  geolim  14388  geomulcvg  14394  risefacval2  14528  fallfacval2  14529  risefaccl  14533  fallfaccl  14534  fallrisefac  14543  risefacp1  14547  fallfacp1  14548  fallfacfac  14563  bpolysum  14571  fsumkthpow  14574  bpoly4  14577  fsumcube  14578  efaddlem  14610  efexp  14618  eftlub  14626  demoivreALT  14718  nn0ob  14886  divalglem4  14905  modremain  14918  mulgcdr  15053  nn0seqcvgd  15069  modprmn0modprm0  15298  coprimeprodsq  15299  coprimeprodsq2  15300  pcexp  15350  dvdsprmpweqle  15376  difsqpwdvds  15377  ramub1lem1  15516  prmop1  15528  mulgneg2  17346  mndodcongi  17733  oddvdsnn0  17734  sylow1lem1  17784  efgsrel  17918  srgbinomlem4  18314  psrbagconf1o  19143  psrass1lem  19146  psrlidm  19172  psrass1  19174  psrcom  19178  mplsubrglem  19208  mplmonmul  19233  psropprmul  19377  coe1sclmul  19421  coe1sclmul2  19423  cnfldmulg  19545  nn0subm  19568  nn0srg  19583  dvnadd  23442  ply1divex  23644  elqaalem2  23823  geolim3  23842  dvradcnv  23923  pserdv2  23932  logtayllem  24149  logtayl  24150  cxpmul2  24179  atantayl3  24410  leibpilem2  24412  leibpi  24413  log2cnv  24415  dmgmaddn0  24493  chpp1  24625  0sgmppw  24667  logexprlim  24694  dchrhash  24740  bcctr  24744  bcmono  24746  bcmax  24747  bcp1ctr  24748  2lgslem1c  24862  2lgslem3a  24865  2lgslem3b  24866  2lgslem3c  24867  2lgslem3d  24868  2lgslem3a1  24869  2lgslem3b1  24870  2lgslem3c1  24871  2lgslem3d1  24872  dchrisumlem1  24922  ostth2lem2  25067  cusgrasizeinds  25797  wlklenvm1  25853  fargshiftfo  25959  wwlknimp  26008  wlkiswwlk1  26011  wlklniswwlkn2  26021  wwlknred  26044  wwlknext  26045  wwlknredwwlkn  26047  wwlkextwrd  26049  wwlkextinj  26051  wwlkextproplem2  26063  wwlkextproplem3  26064  clwlkisclwwlklem2a1  26100  clwlkisclwwlklem2a4  26105  clwlkisclwwlklem2a  26106  clwlkisclwwlklem1  26108  clwlkisclwwlklem0  26109  wwlkext2clwwlk  26124  wlklenvclwlk  26159  rusgranumwlks  26276  rusgranumwlk  26277  usgreghash2spot  26389  frgregordn0  26390  extwwlkfablem2  26398  numclwwlkovf2ex  26406  numclwwlk1  26418  numclwwlk3  26429  numclwwlk7  26434  ipasslem1  26863  ipasslem2  26864  archirngz  28867  subfacval2  30216  bccolsum  30671  faclimlem1  30675  poimirlem28  32390  heiborlem4  32566  heiborlem6  32568  pell14qrgt0  36224  pell14qrdich  36234  pell1qrge1  36235  2nn0ind  36311  jm2.17a  36328  jm2.18  36356  jm2.19lem3  36359  proot1ex  36581  bcc0  37344  dvradcnv2  37351  binomcxplemrat  37354  binomcxplemnotnn0  37360  fperiodmullem  38241  stoweidlem10  38686  stoweidlem17  38693  stoweidlem26  38702  stirlinglem5  38754  stirlinglem7  38756  etransclem23  38933  fmtnodvds  39778  goldbachthlem1  39779  fmtnofac2lem  39802  fmtnofac1  39804  nn0onn0exALTV  39931  nn0enn0exALTV  39932  pfxmpt  40034  addlenrevpfx  40044  pfxccatin12lem1  40070  pfxccatin12lem2  40071  pfxccatin12  40072  subsubelfzo0  40165  1wlklenvclwlk  40844  upgrwlkdvdelem  40923  wwlknp  41026  1wlkiswwlks1  41045  1wlklnwwlkln2lem  41060  wwlksnred  41079  wwlksnext  41080  wwlksnredwwlkn  41082  wwlksnextwrd  41084  wwlksnextinj  41086  wwlksnextproplem2  41097  wwlksnextproplem3  41098  wspthsnwspthsnon  41103  clwlkclwwlklem2a1  41182  clwlkclwwlklem2a4  41187  clwlkclwwlklem2a  41188  clwlkclwwlklem2  41190  clwlkclwwlklem3  41191  wwlksext2clwwlk  41212  eucrctshift  41392  eucrct2eupth  41394  fusgreghash2wsp  41483  frrusgrord0  41484  av-clwwlkextfrlem1  41490  av-numclwwlkovf2ex  41498  av-numclwwlk1  41509  av-numclwwlk7  41526  ply1mulgsumlem1  41949  ply1mulgsumlem2  41950  nn0onn0ex  42093  nn0enn0ex  42094  fllog2  42141  dignn0fr  42174  digexp  42180  0dig2nn0e  42185  0dig2nn0o  42186  dignn0ehalf  42190  nn0mulfsum  42197  nn0mullong  42198  dpfrac1  42254  dpfrac1OLD  42255
  Copyright terms: Public domain W3C validator