Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdsplex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdsplex 30440
 Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdsplex ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13373 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
21adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
3 simpl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
4 simpr 477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
5 elfzuz 12296 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
6 eluzfz1 12306 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
8 elfzuz2 12304 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
9 eluzfz2 12307 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
104, 8, 93syl 18 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
11 ccatswrd 13410 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
123, 7, 4, 10, 11syl13anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
13 swrd0val 13375 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
1413oveq1d 6630 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)))
15 swrdid 13382 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
1615adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
1712, 14, 163eqtr3rd 2664 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)))
18 oveq2 6623 . . . 4 (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)))
1918eqeq2d 2631 . . 3 (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) → (𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) ↔ 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩))))
2019rspcev 3299 . 2 (((𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
212, 17, 20syl2anc 692 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909  ⟨cop 4161   ↾ cres 5086  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  ℤ≥cuz 11647  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246   ++ cconcat 13248   substr csubstr 13250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256  df-substr 13258 This theorem is referenced by:  signstres  30474
 Copyright terms: Public domain W3C validator