Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdsplex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdsplex 29746
Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdsplex ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13213 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
21adantr 479 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
3 simpl 471 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
4 simpr 475 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
5 elfzuz 12160 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
6 eluzfz1 12170 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
8 elfzuz2 12168 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
9 eluzfz2 12171 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
104, 8, 93syl 18 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
11 ccatswrd 13250 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
123, 7, 4, 10, 11syl13anc 1319 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
13 swrd0val 13215 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
1413oveq1d 6538 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)))
15 swrdid 13222 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
1615adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
1712, 14, 163eqtr3rd 2648 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)))
18 oveq2 6531 . . . 4 (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩)))
1918eqeq2d 2615 . . 3 (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) → (𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) ↔ 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩))))
2019rspcev 3277 . 2 (((𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (#‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
212, 17, 20syl2anc 690 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  cop 4126  cres 5026  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  cuz 11515  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   ++ cconcat 13090   substr csubstr 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-substr 13100
This theorem is referenced by:  signstres  29780
  Copyright terms: Public domain W3C validator