Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdres 29788
Description: Condition for the restriction of a word to be a word itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdres ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem wrdres
StepHypRef Expression
1 wrdf 13024 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
2 elfzuz3 12078 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
3 fzoss2 12233 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
5 fssres 5867 . . 3 ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
61, 4, 5syl2an 492 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
7 iswrdi 13023 . 2 ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆 → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
86, 7syl 17 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  wss 3444  cres 4934  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  0cc0 9691  cuz 11427  ...cfz 12065  ..^cfzo 12202  #chash 12847  Word cword 13005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-hash 12848  df-word 13013
This theorem is referenced by:  signstres  29823
  Copyright terms: Public domain W3C validator