MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmstri 22020
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d 𝐷 = (dist‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
xmstri ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmstri
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑀)
2 mscl.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑀)
31, 2xmsxmet2 22011 . . 3 (𝑀 ∈ ∞MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
4 xmettri 21903 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) +𝑒 (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
53, 4sylan 486 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) +𝑒 (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
6 simpr1 1059 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 simpr2 1060 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
86, 7ovresd 6673 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
9 simpr3 1061 . . . 4 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
106, 9ovresd 6673 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) = (𝐴𝐷𝐶))
119, 7ovresd 6673 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
1210, 11oveq12d 6541 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) +𝑒 (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
135, 8, 123brtr3d 4604 1 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573   × cxp 5022  cres 5026  cfv 5786  (class class class)co 6523  cle 9927   +𝑒 cxad 11772  Basecbs 15637  distcds 15719  ∞Metcxmt 19494  ∞MetSpcxme 21869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-topgen 15869  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-xms 21872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator