MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsff1o2 16225
Description: The function appearing in xpsval 16226 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2𝑜 = {∅, 1𝑜}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
xpsff1o2 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
21xpsff1o 16222 . 2 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-ontoX𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3 f1of1 6134 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-ontoX𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4 f1f1orn 6146 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
52, 3, 4mp2b 10 1 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1482  c0 3913  ifcif 4084  {csn 4175   × cxp 5110  ccnv 5111  ran crn 5113  1-1wf1 5883  1-1-ontowf1o 5885  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  2𝑜c2o 7551  Xcixp 7905   +𝑐 ccda 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-cda 8987
This theorem is referenced by:  xpsbas  16228  xpsaddlem  16229  xpsadd  16230  xpsmul  16231  xpssca  16232  xpsvsca  16233  xpsless  16234  xpsle  16235  xpsmnd  17324  xpsgrp  17528  xpstps  21607  xpstopnlem2  21608  xpsdsfn  22176  xpsxmet  22179  xpsdsval  22180  xpsmet  22181  xpsxms  22333  xpsms  22334
  Copyright terms: Public domain W3C validator